Cones invariantes no espaço simétrico

março 8, 2009

Na semana que passou teve os exame de qualificação da Ariane e da Janete (o segundo exame, oral,  daqui da Unicamp). Elas falaram sobre o tipo parabólico de semigrupos e, como aplicação, ambas mencionaram dois artigos que escrevi com o Alexandre e o Osvaldo sobre a existência de cones invariantes para semigrupos lineares agindo em R^n.

Nisso o Marcelo Firer (de agora em diante denominado apenas por querido Marcelão, ou apenas Marcelão) colocou uma questão bastante interessante, que é a da existêcia de cones invariantes nos espaços simétricos correspondentes. Nunca tinha pensado nisso. Argumentei, durante o exame que os cones invariantes em R^n vinham de questões de teoria de controle para sistemas bilineares, mas que a controlabilidade para sistemas em grupos semi-simples não depende muito de qual espaço a gente age o grupo. Em geral transitividade de um semigrupo em um espaço homogêneo implica que o semigrupo é o grupo todo.

Em todo caso taí uma questão boa pra se pensar: se S é um semigrupo próprio de um grupo semi-simples G então existe um “cone” invariante por S  no espaço simétrico G/K. O que acontece é que, sob esse aspecto de cones,  a geometria de  G/K  é parecida com R^n. Isto é, um cone é um conjunto fechado por raios geodésicos. Nos espaços simétricos não compactos, do tipo G/K, isso faz sentido.