Conexidade da Compactificação de Um Ponto/Alexandroff

agosto 20, 2012

Todos vemos no curso de topologia que pode-se acrescentar um ponto a qualquer espaço topológico não compacto X para torná-lo compacto (a tal compactificação de um ponto, ou de Alexandroff, que denotaremos por X^*). Admitindo que X é de Hausdorff e localmente compacto, tem-se que X^* também possui essas propriedades. Além disso, uma vez que X acaba sendo um subespaço denso de X^*, tem-se adicionalmente que X^* é conexo sempre que X o for. (A recíproca dessa última afirmação não é verdadeira: se X é a união de dois discos fechados que se tangenciam num ponto, menos esse ponto de tangência, então X é desconexo apesar de X^* ser conexo.)

A questão que eu gostaria de levantar é a seguinte: quais condições sobre X garantem que X^* é conexo por caminhos? Sem enrolar muito, o critério que encontrei é o seguinte:

Proposição: Se X é um espaço topológico de Hausdorff não compacto, localmente compacto, conexo por caminhos e \sigma-compacto, então X^* é conexo por caminhos.

Dem.: Seja \{K_n:n\in\mathbb N\} uma família de subespaços compactos de X tal que K_n\subseteq K_{n+1} e X = \bigcup_{n\in\mathbb N} K_n. Dado x\in X, precisa-se mostrar que existe uma curva contínua \tilde\gamma:[0,1]\to X^* tal que \tilde\gamma(0) = x e \tilde\gamma(1) = \infty, em que X^* = X\cup\{\infty\}. Pode-se supor, sem perda de generalidade, que x\in K_0. Deste modo, seja (x_n)_{n\in\mathbb N} uma sequência de pontos de X tal que x_0 = x e x_n\in K_n\backslash K_{n-1} para n>0. Pela definição da topologia de X^* tem-se x_n\to\infty. Como X é conexo por caminhos, para cada n existe uma curva \gamma_n:[n,n+1]\to X\subseteq X^* satisfazendo \gamma_n(n) = x_n e \gamma_n(n+1) = x_{n+1}. Usando que [0,+\infty) é homeomorfo a [0,1) por uma função crescente (e.g. f(t) = \frac{t}{1-t}, 0\leq t<1), produz-se uma curva \gamma:[0,1)\to X e uma sequência de pontos (t_n)_{n\in\mathbb N}\subseteq [0,1) satisfazendo t_n<t_{n+1}, t_n\to1 e \gamma(t_n) = x_n. A curva \tilde\gamma definida por \tilde\gamma(t) = \gamma(t) para t\in[0,1) e \tilde\gamma(1) = \infty satisfaz as condições desejadas. QED

Então, X ser \sigma-compacto é suficiente, e desconfio que também é necessário, mas não consegui encontrar um exemplo que mostrasse isso. Se alguém achar, posta um comentário aí.


Motivando o determinante de matrizes 3×3

agosto 17, 2012

Olá pessoal,

Pensando numa explicação razoável de determinantes para estudantes de ensino médio, procurei em alguns livros de ensino médio e na internet uma motivação para a definição do determinante de matriezes 3×3 e… Não achei!

Vocês conhecem alguma motivação?

Eu escrevi uma nesse rascunho aqui: Determinante 3×3

Quem se interessar, sugira (e critique) à vontade nos Comentários para melhorarmos o rascunho! 🙂


Conrado Damato de Lacerda

março 16, 2012

Formação: bacharel em Matemática e Computação Científica pela UFSC (2008) e mestre em Matemática pela UNICAMP (2011). Atualmente sou aluno de doutorado em Matemática na UNICAMP sob a orientação do prof. Luiz A. B. San Martin.

Áreas de interesse: teoria de Lie, geometria diferencial, análise funcional, topologia, física-matemática, entre outras.

Atividades: além da pesquisa de doutorado, atualmente organizo o Seminário de Teoria de Lie do IMECC. Quem tiver interesse em participar é só me contatar.

E-mail para contato: conrado.lacerda@yahoo.com.br


Dois artigos interessantes sobre o atual sistema de periódicos científicos

janeiro 28, 2012
Também vale a pena ler os comentários em cada link:
By , January 16, 2012

The New England Journal of Medicine marks its 200th anniversary this year with a timeline celebrating the scientific advances first described in its pages: the stethoscope (1816), the use of ether for anesthesia (1846), and disinfecting hands and instruments before surgery (1867), among others.

For centuries, this is how science has operated — through research done in private, then submitted to science and medical journals to be reviewed by peers and published for the benefit of other researchers and the public at large. But to many scientists, the longevity of that process is nothing to celebrate.

The system is hidebound, expensive and elitist, they say. Peer review can take months, journal subscriptions can be prohibitively costly, and a handful of gatekeepers limit the flow of information. It is an ideal system for sharing knowledge, said the quantum physicist Michael Nielsen, only “if you’re stuck with 17th-century technology.” (…)

26 January, 2012 in advertisingopinion | Tags:  | by 

A few days ago, inspired by this recent post of Tim Gowers, a web page entitled “the cost of knowledge” has been set up as a location for mathematicians and other academics to declare a protest against the academic publishing practices of Reed Elsevier, (…)


Product Type Dynamical Systems: variational principle

janeiro 16, 2012
(English Below)

Este é um resumo do seminário que vou apresentar dia 26 de janeiro de 2012 no Imperial College London.

This is the abstract of a seminar I am about to present on 26 January of 2012 at the Imperial College London DynamIC Seminars. The slides will be upload to this page as soon as they are available.

Comments are very welcome, and can be made at the end of this page.

Abstract

Inspired by the Kolmogorov-Sinai entropy (KS-entropy) for a measure-preserving dynamical system, Adler, Konheim and McAndrew developed a purely topological concept of entropy (AKM-entropy) for topological dynamical systems over compact phase spaces. The AKM-entropy relates to the KS-entropy trough the so called Variational Principle: h(T)    =    \sup_\mu h_\mu(T),  where h(T) is the AKM-entropy and h_\mu(T) is the KS-entropy for the dynamical system T. The supremum is taken over all possible Borel measures.

Since then, many attempts to generalise this to non-compact spaces have been made. But not always the Variational Principle holds for this new concept. Bowen did it for metrizable systems. For a definition that uses some heavy machinery under the umbrella of topological pressure, Pesin and Pitskel’ have proved that the Variational Principle holds under some (hard to verify) hypothesis. In this Seminar, I will present a new concept of entropy which is surprisingly close to the AKM-entropy, and for which the Variational Princilpe still holds for a wide range of spaces. We have called those, Product Type Dynamical Systems.

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Edital Universal

junho 28, 2011

Olá Pessoal,

o edital Universal (http://www.cnpq.br/editais/ct/2011/universal.htm) está aberto.

Lançamento na página do CNPq:
22 de junho de 2011

Data limite para submissão das propostas:
08 de agosto, de 2011

Divulgação dos resultados na página do CNPq:
A partir de novembro de 2011

Início da contratação das propostas aprovadas:
A partir de novembro de 2011

Acho que agora podemos iniciar aquela idéia de cada um escrever o seu problema, selecionar os ítens desejados (de acordo com o edital) e depois de receber o modelo geral enviar nos moldes deste modelo.

Abraços,

Alexandre


Uma breve história da decomposição de Bruhat

junho 24, 2011

Olá pessoal,

Achei curiosa essas anotações de uma palestra do Lusztig que envio em anexo: na Seção 2 que ele fala rapidamente da história da decomposição de Bruhat desde Gauss e os chineses 🙂

Lusztig – BRUHAT DECOMPOSITION AND APPLICATIONS

PS – Talvez alguém se interesse também pela Seção 4, na qual ele menciona as classes de conjugação nilpotentes dentre de um grupo semisimples G.  Esse assunto está relacionado com a generalização da forma canônica de Jordan para G e eu gostaria de saber mais sobre ele…