Conjunto de Cantor

julho 4, 2010

Neste post, vou fazer uma exposição breve sobre o conjunto de Cantor (sob uma perspectiva que eu adotei). Este post usará as considerações do post. Aqui, vou definir o espaço/conjunto de Cantor como sendo o prodtuo de espaços topológicos discretos K = \left\{ 0,2\right\} ^\mathbb{N} .

Tem-se, pelo teorema de Tychonoff, que K é compacto. Além disso, pelas considerações do post, segue que K é homeomorfo a K^n (qualquer que seja o n\in\mathbb{N} ) e, também, é homemorfo a K ^\mathbb{N} .

O conjunto de Cantor é originalmente construído na reta. Aqui, vou definir conjunto de Cantor na reta como sendo qualquer imersão topológica do espaço K na reta. Ou seja, se f:K\to\mathbb{R} é um homeomorfismo sobre sua imagem, f(K) será chamado de um conjunto de Cantor.

Uma observação óbvia é que, por K ser compacto, tem-se que toda injeção contínua f:K\to\mathbb{R} é uma imersão topológica (pois f: K\to f(K) seria uma bijeção contínua de um compacto num Hausdorff (portanto um homeomorfismo)).

Seguindo essa definição de conjunto de Cantor na reta, um exemplo de conjunto de Cantor na reta é construído no post sobre curvas de Peano.

Teorema 1: Seja K=\left\{ 0,2\right\} ^\mathbb{N} o espaço/conjunto de Cantor. Tem-se que K é compacto, totalmente desconexo, não possui pontos isolados e é não-enumerável.

Demonstração: Pelo teorema de Tychonoff, como \left\{ 0,2\right\} é evidentemente compacto, segue que o produto K = \left\{ 0,2\right\} ^\mathbb{N} é compacto.

Além disso, é fácil verificar que K é não-enumerável: com, por exemplo, argumento da diagonal de Cantor. Mas, para fazer uma verificação rápida desse fato, é fácil construir uma bijeção de K com o conjunto das partes de \mathbb{N} (de fato, a cada subconjunto de N , associa-se a sua “função característica”). Como o conjunto das partes de \mathbb{N} não é enumerável, segue que K não é enumerável.

Pela própria definição da topologia produto, não há como K possui pontos isolados. De fato, todo aberto de K deve ter uma projeção em \left\{ 0,2\right\} cuja imagem é o espaço \left\{ 0,2\right\} todo (pela definição da topologia produto). Logo, dados (x_1 , \ldots , x_n , \ldots )\in K e uma vizinhança aberta U\subset K desse ponto, segue que existe k\in\mathbb{N} tal que p_k (U) = \left\{ 0,2\right\} . Mas isso quer implica que (x_1, \ldots , x_k' , \ldots )\in U , onde x_k' \neq x_k . Isso, então, provou que todos pontos de K são não isolados.

Para encerrar a demonstração, prova-se que K é totalmente desconexo (ou seja, as componentes conexas de K são unitárias). Com efeito, dada uma componente conexa C\subset K , segue que as imagens de C pelas projeções devem ser conexas. Mas as únicas componentes conexas de \left\{ 0,2\right\} são os pontos. Então, para todo j\in\mathbb{N} , p_j (C) é unitário. E, portanto, C é unitário. E isso, então, completa a prova de que K é totalmente desconexo.

CQD

Seguem as propriedades conhecidas do conjunto de Cantor na Reta. Abaixo, estão enunciadas e provadas.

Corolário 1.1: Seja C\subset\mathbb{R} um conjunto de Cantor. Segue que C é compacto, tem interior vazio, não contém pontos isolados e é não-enumerável.

Demonstração: Com efeito, pela definição, tem-se que C é homemorfo a K = \left\{ 0,2\right\} ^\mathbb{N} . Logo, pelo teorema 1, tem-se que C é compacto (portanto limitado e fechado), é não enumerável e não contém pontos isolados.

Além disso, tem-se que C é totalmente desconexo. Em particular, todos subconjuntos conexos de C são unitários. Disse segue que C não contém intervalos e, portanto, possui interior vazio.

CQD

Aqui, o post ficaria completo. Foram definidos os conjuntos de Cantor. Além disso, este último corolário mostrou que os conjuntos de Cantor na reta possuem as propriedades interessantes esperadas do conjunto de Cantor. Mas, antes de encerrar o post, será provado que o conjunto de Cantor usual (como, por exemplo, é definido nos livros livros de análise) é um conjunto de Cantor segundo a definição deste post.

Não vou colocar, aqui, a definição usual. Muito menos discutí-la em detalhes. Acho que tem lugares onde isso pode ser encontrado (como wikipedia ). Denotemos por A o esse conjunto de Cantor usual. Uma das observações interessantes de se fazer é que o conjunto A é construído de tal forma que seus números na base 3 sejam escritos com os algarismos 0 e 2 somente. Na primeira etapa, tira-se o conjunto dos números, onde 0, x_1x_2\ldots na base 3 tem x_1 = 1 . Na etapa 2 , tiram-se os números 0, x_1x_2x_3x_4\ldots onde x_2=1 na base 3 .

No final da construção, o conjunto A fica sendo o conjunto dos pontos 0,x_1x_2x_3x_4\ldots tais que podem ser escritos na base 3 apenas com os algarismos 0 e 2 .

Define-se no conjunto de Cantor K a métrica \displaystyle d(x,y) =\sum _{i=1}^\infty \frac{\left| x_i -y_i\right| }{3^i} . E, então, define-se a aplicação \alpha : K\to A , onde \alpha (x) = d(x,0) .  Pelas considerações acima, segue que isso está bem definido e é uma sobrejeção. Além disso, \alpha é contínua e é fácil verificar que \alpha é injetiva. Portanto \alpha é uma bijeção contínua.

Como K é compacto e A é Hausdorff, segue que \alpha é um homeomorfismo. Portanto, de fato, A é um conjunto de Cantor.

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Curvas de Peano

julho 3, 2010

Neste post todo, o intervalo \left[ 0,1\right] será denotado por I . Seja M um espaço métrico. Uma curva de Peano em M é uma aplicação contínua f:I\to M sobrejetiva.

Essas curvas de Peano tem relação (evidente) com o “cálculo” de grupos fundamentais. Em particular, a existência dessas curvas de Peano, por exemplo, está relacionada com a prova de que S^n é simplesmente conexo para n\geq 2 . Isso será explicado em outro post.

Aqui, vou construir de forma direta uma curva de Peano em I^n , n\in\mathbb{N} qualquer (por exemplo, I^2 é o quadrado fechado). Para isso, vou utilizar algumas considerações do post anterior.

Segue, abaixo, mais um lema sobre extensão contínua que será importante para a construção das curvas de Peano.

Lema 1: Seja C\subset I um subconjunto fechado. Se X\subset\mathbb{R}^n é um conjunto convexo, segue que qualquer aplicação contínua f:C\to X possui extensão contínua F:I\to X .

Demonstração: Com efeito, pela estrutura (topológica) da reta, tem-se um resultado conhecido de que todo aberto pode ser escrito como uma reunião enumerável de intervalos abertos disjuntos. Logo I-C é escrito como uma reunião enumerável \displaystyle\bigcup _{k\in L} A_k de intervalos abertos A_k = (a_k,b_k) . Logo define-se F(x) = f(x) , se x\in C . E, para x\in I-C , tem-se que x\in (a_k,b_k) para algum k\in L e, nesse caso, define-se \displaystyle F(x) = \left(\frac{x-b_k}{a_k-b_k}\right)f(a_k)+\left(\frac{a_k-x}{a_k-b_k}\right) f(b_k) . Verificar que F é, de fato, contínua é fácil. Além disso, pode-se notar que F está definida nesses intervalos abertos como sendo o segmento de reta que liga os valores de f nos extremos.

CQD

Antes de construir a curva de Peano, seguem algumas definições e um lema importante para a construção.  Seja \left\{ 0,1\right\} o espaço topológico (metrizável) munido da topologia discreta.

Segue que K=\left\{  0,1\right\} ^\mathbb{N} é um produto de espaços e, munido da topologia produto, é metrizável. Pelo teorema de Tychonoff, segue que K é compacto. E, pelas considerações do post anterior, tem-se que K é homeomorfo a K^n (para qualquer n\in\mathbb{N} ) .

Lema 2: Seja K=\left\{ 0,1\right\} ^\mathbb{N} o produto dos espaços topológicos discretos. Existe uma aplicação contínua sobrejetiva h : K\to I^n .

Demonstração: Define-se uma métrica em K=\left\{ 0,1\right\} ^\mathbb{N} . Dados x,y\in K , define-se \displaystyle d(x,y)=\sum _{i=1}^\infty  \frac{\left| x_i-y_i\right| }{2^i} . E, então, a aplicação \alpha : K\to I tal que \alpha (x) = d(x,0) , denotando-se 0 = (0,\ldots ,0) ,  é evidentemente contínua e sobrejetiva. Logo, dado n\in\mathbb{N} , \alpha\times\cdots\times\alpha = (\alpha )^n : K^n\to I^n é uma aplicação contínua sobrejetiva. Seja, então \beta : K\to K^n um homeomorfismo. Segue, então, que h= (\alpha )^n\circ\beta : K\to I^n é uma aplicação contínua sobrejetiva.

CQD

Teorema de Peano: Para qualquer n\in\mathbb{N} , existe uma aplicação contínua f: I\to I^n sobrejetiva.

Demonstração: Mune-se K=\left\{ 0,1\right\} ^\mathbb{N} da seguinte métrica coerente com a topologia produto d(x,y) = \displaystyle\sum _{i=1}^\infty \frac{\left| x_i - y_i\right|}{10^i} .

Define-se, então, a aplicação contínua \phi : K\to I tal que \phi (x) = d(x,0) . É fácil verficar que \phi é injetiva. Define-se M=f(K) . Tem-se, então, que M é compacto (e, em particular, fechado em I ). Além disso, tem-se que \varphi : K\to M , onde \varphi (x) = \phi (x) , é uma bijeção contínua definida num compacto que toma valores num espaço Hausdorff. Portanto  \varphi é um homeomorfismo e, então, K e M são homeomorfos.

Dado n\in\mathbb{N} , toma-se a aplicação contínua sobrejetiva h: K\to I^n , cuja existência é garantida pelo lema 2. Portanto h\circ (\varphi )^{-1}: M\to I^n é uma aplicação contínua sobrejetiva. Pelo lema 1, segue que existe uma extensão contínua f: I\to I^n (sobrejetiva) de h\circ (\varphi )^{-1} .

CQD