Curvas de Peano

julho 3, 2010

Neste post todo, o intervalo \left[ 0,1\right] será denotado por I . Seja M um espaço métrico. Uma curva de Peano em M é uma aplicação contínua f:I\to M sobrejetiva.

Essas curvas de Peano tem relação (evidente) com o “cálculo” de grupos fundamentais. Em particular, a existência dessas curvas de Peano, por exemplo, está relacionada com a prova de que S^n é simplesmente conexo para n\geq 2 . Isso será explicado em outro post.

Aqui, vou construir de forma direta uma curva de Peano em I^n , n\in\mathbb{N} qualquer (por exemplo, I^2 é o quadrado fechado). Para isso, vou utilizar algumas considerações do post anterior.

Segue, abaixo, mais um lema sobre extensão contínua que será importante para a construção das curvas de Peano.

Lema 1: Seja C\subset I um subconjunto fechado. Se X\subset\mathbb{R}^n é um conjunto convexo, segue que qualquer aplicação contínua f:C\to X possui extensão contínua F:I\to X .

Demonstração: Com efeito, pela estrutura (topológica) da reta, tem-se um resultado conhecido de que todo aberto pode ser escrito como uma reunião enumerável de intervalos abertos disjuntos. Logo I-C é escrito como uma reunião enumerável \displaystyle\bigcup _{k\in L} A_k de intervalos abertos A_k = (a_k,b_k) . Logo define-se F(x) = f(x) , se x\in C . E, para x\in I-C , tem-se que x\in (a_k,b_k) para algum k\in L e, nesse caso, define-se \displaystyle F(x) = \left(\frac{x-b_k}{a_k-b_k}\right)f(a_k)+\left(\frac{a_k-x}{a_k-b_k}\right) f(b_k) . Verificar que F é, de fato, contínua é fácil. Além disso, pode-se notar que F está definida nesses intervalos abertos como sendo o segmento de reta que liga os valores de f nos extremos.

CQD

Antes de construir a curva de Peano, seguem algumas definições e um lema importante para a construção.  Seja \left\{ 0,1\right\} o espaço topológico (metrizável) munido da topologia discreta.

Segue que K=\left\{  0,1\right\} ^\mathbb{N} é um produto de espaços e, munido da topologia produto, é metrizável. Pelo teorema de Tychonoff, segue que K é compacto. E, pelas considerações do post anterior, tem-se que K é homeomorfo a K^n (para qualquer n\in\mathbb{N} ) .

Lema 2: Seja K=\left\{ 0,1\right\} ^\mathbb{N} o produto dos espaços topológicos discretos. Existe uma aplicação contínua sobrejetiva h : K\to I^n .

Demonstração: Define-se uma métrica em K=\left\{ 0,1\right\} ^\mathbb{N} . Dados x,y\in K , define-se \displaystyle d(x,y)=\sum _{i=1}^\infty  \frac{\left| x_i-y_i\right| }{2^i} . E, então, a aplicação \alpha : K\to I tal que \alpha (x) = d(x,0) , denotando-se 0 = (0,\ldots ,0) ,  é evidentemente contínua e sobrejetiva. Logo, dado n\in\mathbb{N} , \alpha\times\cdots\times\alpha = (\alpha )^n : K^n\to I^n é uma aplicação contínua sobrejetiva. Seja, então \beta : K\to K^n um homeomorfismo. Segue, então, que h= (\alpha )^n\circ\beta : K\to I^n é uma aplicação contínua sobrejetiva.

CQD

Teorema de Peano: Para qualquer n\in\mathbb{N} , existe uma aplicação contínua f: I\to I^n sobrejetiva.

Demonstração: Mune-se K=\left\{ 0,1\right\} ^\mathbb{N} da seguinte métrica coerente com a topologia produto d(x,y) = \displaystyle\sum _{i=1}^\infty \frac{\left| x_i - y_i\right|}{10^i} .

Define-se, então, a aplicação contínua \phi : K\to I tal que \phi (x) = d(x,0) . É fácil verficar que \phi é injetiva. Define-se M=f(K) . Tem-se, então, que M é compacto (e, em particular, fechado em I ). Além disso, tem-se que \varphi : K\to M , onde \varphi (x) = \phi (x) , é uma bijeção contínua definida num compacto que toma valores num espaço Hausdorff. Portanto  \varphi é um homeomorfismo e, então, K e M são homeomorfos.

Dado n\in\mathbb{N} , toma-se a aplicação contínua sobrejetiva h: K\to I^n , cuja existência é garantida pelo lema 2. Portanto h\circ (\varphi )^{-1}: M\to I^n é uma aplicação contínua sobrejetiva. Pelo lema 1, segue que existe uma extensão contínua f: I\to I^n (sobrejetiva) de h\circ (\varphi )^{-1} .

CQD

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Compactos Convexos

maio 17, 2010

Sejam E um espaço vetorial normado e K\subset E um subconjunto compacto convexo. Se X é um espaço topológico qualquer, usando um pouquinho da introdução de teoria de homotopia, provaremos que uma função contínua f: \partial K \to X tem uma extensão contínua em K se, e somente se, f é homotópico a uma aplicação constante.

Há como fazer uma prova direta (igualmente trabalhosa) desse fato. Mas o intuito, aqui, é apresentar alguns resultados interessantes que implicarão nesse teorema sobre extensão de aplicações contínuas. Um dos resultados que tenho em mente é provar que, num espaço vetorial normado, todos subconjuntos compactos convexos de interior não vazio são homeomorfos entre si. Em particular, em um espaço vetorial normado de dimensão finita, isso quer dizer que todos compactos convexos de interior não vazio são homeomorfos à bola fechada. A bola fechada já possui um resultado de extensão que pode ser usado como lema para a demonstração final, após demonstrar que todo homeomorfismo entre a bola fechada e um compacto leva a esfera na fronteira (e vice-versa).

Antes de prosseguir, cabem algumas observações. Se um subconjunto K compacto convexo de um espaço vetorial normado possui interior vazio, então K = \partial K . E, portanto, trivialmente toda aplicação contínua definida na sua fronteira tem extensão contínua em K (a própria aplicação) e, também, por K = \partial K ser convexo (em particular, contrátil) , toda aplicação contínua definida na fronteira é homotópica a uma constante . Logo, sobre extensão, basta provar para o caso em que o interior do compacto convexo é não vazio.

Além disso, num espaço vetorial normado de dimensão infinita, a afirmação “todos subconjuntos compactos convexos com interior não vazio são homeomorfos entre si” é verdade por vacuidade. Afinal, não há subconjuntos compactos com interior não vazio. Então tanto essa afirmação, quanto o resultado sobre extensão, são triviais para o caso em que o espaço vetorial normado possui dimensão infinita.

Portanto só resta provar que, num espaço vetorial normado de dimensão finita, a afirmação sobre a equivalência dos subconjuntos compactos convexos com interior não vazio também é verdadeira. E, então, tirar daí o resultado de extensão para esse tipo de subconjunto.

Além disso, um dos sentidos do teorema sobre extensão é trivial. Existem duas formas de verificar isso. Evitando a linguagem de categorias (com essa linguagem consegue-se mostrar (de forma direta) uma forma que generaliza (e trivializa) essa condição necessária para haver uma extensão), eu consegui uma demonstração rápida desse fato (que vou enunciar, abaixo, como lema).

Lema 1.: Sejam E um espaço vetorial normado, K\subset E um convexo, A\subset K um subconjunto não vazio e X um espaço topológico. Se f: A\to X é contínua, então uma condição necessária para que f tenha extensão contínua em K é que f seja homotópica a uma aplicação constante.

Demonstração: Se f^*: K\to X é uma extensão contínua, então, tomando a inclusão i: A\to K , segue que f^*\circ i = f . Mas, como K é convexo (e, em particular, contrátil), tem-se que i é homotópico a uma aplicação constante t: A\to K . Disso segue que f é homotópico a f^*\circ t (que é constante).

CQD

Será provado abaixo o resultado sobre extensão (básico) que nos será útil para completar a demonstração do teorema final (sobre extensões de aplicações contínuas em compactos convexos). Esse resultado é sobre extensões de aplicações contínuas definidas numa esfera S^n para a bola B^{n+1} toda. A demonstração direta do resultado final é análoga à demonstração do teorema seguinte: mas vamos chegar a esse resultado de outra forma.

Lema 2.: Seja X um espaço topológico. Uma aplicação contínua f: S^n\to X possui uma extensão F : B^{n+1}\to X contínua se, e somente se, f é homotópico a uma aplicação constante.

Demonstração: Com efeito, se f: S^n\to X possui extensão, segue, pelo lema 1, que f é homotópico a uma aplicação constante. Reciprocamente, se f é homotópico a uma constante, segue que existe uma homotopia L: f\cong k , onde k: S^n\to X é uma aplicação constante. Define-se a aplicação sobrejetiva

\varphi : S^n\times\left[ 0,1\right]\to B^{n+1} , onde \varphi (x,t) = (1-t)x . Essa aplicação tem domínio compacto e contra-domínio Hausdorff, logo é fechada (e, portanto, é aplicação quociente). Observe que, dados \varphi (x_1,t_1) =\varphi (x_2, t_2) , ou (x_1,t_1) = (x_2,t_2) , ou então t_1 = t_2 = 1 . E, portanto, em ambos os casos L(\varphi (x_1,t_1) ) = L( \varphi (x_2 ,t_2) ) . Portanto, dado y\in B^{n+1} , y possui uma imagem inversa \varphi ^{-1} (y) e, tomando (x,t)\in \varphi ^{-1} (y) qualquer, podemos definir F: B^{n+1}\to X como sendo F(y) = L(x,t) (pelo observado, segue que isso está bem definido). Note que F\circ \varphi = L .

Como \varphi é aplicação quociente, o fato de F\circ \varphi = L ser contínua implica que F é contínua. E, para completar, é fácil verficar que F|_{S^n} = f .

CQD

Segue o resultado que afirma que todos os compactos convexos com interior não vazio de um espaço vetorial normado E são homeomorfos entre si. Como foi observado anteriormente, para provar isso, basta provar para o caso em que E tem dimensão finita, afinal,  para o caso em que E tem dimensão infinita, a afirmação é truísmo.

Teorema 3.: Seja E um espaço vetorial normado. Tem-se que todos os compactos convexos com interior não vazio em E são homeomorfos entre si.

Demonstração: Com efeito, seja E um espaço vetorial normado de dimensão n+1 . Tem-se que a bola fechada B^{n+1} de raio 1 e centrada na origem é um compacto convexo com interior não vazio. Então basta provar que todos compactos convexos de interior não vazio são homeomorfos a essa bola.

Dado um compacto convexo com interior não vazio K\subset E , supõe-se sem perda de generalidade que K\subset B^{n+1} e que um ponto interior x_0\in int K coincide com a origem. Note que essa suposição é razoável: basta ver que K é limitado, fixando x_0 no interior de K , tem-se que o conjunto \frac{1}{2diam (K)}K -x_0 é homeomorfo a K e satisfaz as propriedades que foram pedidas: ponto interior x_0 coincidindo com a origem e K\subset B^{n+1} .

Define-se \phi : \partial K\times \left[ 0,1\right]\to K , onde \phi (x,t) = (1-t)x . Evidente que \phi é contínua e sobrejetiva. Por \partial K\times \left[ 0,1\right] ser compacto, \phi é fechada. Logo \phi é aplicação quociente.

Por outro lado, define-se \alpha : S^n\times \left[ 0,1\right]\to B^{n+1} , onde \alpha (x,t) = (1-t)x . De forma análoga, conslui-se que \alpha é aplicação quociente.

Verifique que, sem ambigüidade, pode-se definir F: K\to B^{n+1} tal que F(\phi (x,t)) = \alpha (x,t) . Como F\circ \phi = \alpha é contínua, por \phi ser aplicação quociente, segue que F é contínua.

E, de forma análoga, define-se, sem ambigüidade, G: B^{n+1}\to K tal que G(\alpha (x,t)) = \phi (x,t) . Como G\circ \alpha = \phi é contínua, por \alpha ser aplicação quociente, segue que G é contínua.

Nota-se, facilmente, que G= F^{-1} . Logo ficou provado que F é homeomorfismo.

CQD

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Normas Equivalentes

março 23, 2010

Novamente, um post sobre um teorema já exposto. No entanto, vou expor aqui uma forma interessante de se provar a equivalência das normas em um espaço vetorial de dimensão fiinita.

Duas normas num espaço vetorial E são chamadas de equivalentes quando as métricas provenientes dessas normas são equivalentes.

Teorema 1: Sejam E,F espaços vetoriais normados. As seguintes afirmações a respeito de uma aplicação linear T:E\to  F são equivalentes:

1) T é uniformemente contínua;

2) T é contínua;

3) T é contínua no ponto 0\in E ;

4) T é Lipschitz.


Demonstração: Com efeito, tem-se que as implicações (1)\Longrightarrow (2) , (2)\Longrightarrow (3) e (4)\Longrightarrow (1) são óbvias.  Provemos a implicação (3)\Longrightarrow (4) .

Com efeito, tem-se, pela hipótese, que existe  \delta >0 tal que

\left| v \right| \leq \delta \Longrightarrow \left\| T(v)  \right\| <1 .

Dado u\in\left\{ x\in E : \left| x\right| = 1 \right\} , tem-se que \left| \delta u \right| = \delta e, então,

\delta \left\| T(u)\right\| = \left\| T( \delta u) \right\|  < 1 , donde segue que

\left\| T(u)\right\| <\frac{ 1 }{ \delta } . Isso provou que \left\{ \left\| Tx\right\| \in F:\left| x\right| =1\right\} é limitado. Denotamos L=sup\left\{ \left\| Tx\right\| \in  F:\left| x\right| =1\right\} .

Dados x,y\in E , segue que \displaystyle \left\| T  \left( \frac{x-y}{ \left| x-y\right| } \right) \right\|\leq L e, portanto,

\displaystyle \frac{1}{ \left| x-y\right| } \left\| T\left(  x-y\right) \right\| \leq L , ou seja, \left\| Tx - Ty\right\|  \leq L\left| x-y\right| .


Corolário 1.1: Sejam \left\| \cdot \right\| _1 e \left\| \cdot \right\| _2 duas normas num espaço vetorial E . Se tais normas são equivalentes, segue que as métricas provenientes dessas normas são uniformemente equivalentes. E, mais precisamente, existem \alpha, \beta > 0 tais que

\alpha \left\| u \right\| _1 \leq \left\| u \right\| _2  \leq \beta \left\| u \right\| _1 para todo u\in E .


Demonstração: Com efeito, se tais normas são equivalentes, segue que

id: (E, \left\| \cdot \right\| _1 ) \to (E, \left\| \cdot  \right\| _2 ) é um homeomorfismo. Pelo teorema precedente, id e sua inversa são lipschitzianas (em particular, id é um homeomorfismo uniforme). Isso implica que existem \alpha , \beta  > 0 tais que

\alpha \left\| x-y \right\| _1 \leq \left\| x-y \right\| _2  \leq  \beta \left\| x-y \right\| _1 para quaisquer x,y\in E .

Em particular,

\alpha \left\| x \right\| _1 \leq \left\| x \right\| _2 \leq    \beta \left\| x \right\| _1 para qualquer x\in E (bastava tomar y=0 ).



Corolário 1.3: Seja E um espaço vetorial normado. Ao trocar a norma de E por uma equivalente, seqüências convergentes são transformadas em seqüências convergentes, e seqüências de Cauchy são transformadas em seqüências de Cauchy. Em particular, se E é completo em relação a uma norma, ele será completo em relação a qualquer norma equivalente.


Demonstração: É consequência imediata do fato de métricas provenientes de normas equivalentes serem uniformemente equivalentes.



Teorema 2: Sejam E um espaço vetorial normado e \mathbb{R}^n munido da norma do máximo (ou uma equivalente). Toda aplicação linear T: \mathbb{R} ^n \to E é contínua.


Demonstração: Com efeito, tem-se que, dado u\in\mathbb{R}^n ,

\displaystyle \left\| T(u)\right\|\leq \sum_{i=1}^n   \left|u_i\right| \left\| T(e_i)\right\|\leq \left| u \right|   \sum_{i=1}^n \left\| T(e_i)\right\| ,

onde \left\{ e_1, \ldots , e_n \right\} \subset \mathbb{R}^n é a base canônica, e onde \left| u \right| é a norma (do máximo) de u em \mathbb{R}^n . Fazendo \displaystyle L= \sum_{i=1}^n \left\| T(e_i) \right\| , segue que

\displaystyle \left\| T(u)\right\|\leq L\left| u \right| .

Isso provou que \displaystyle \left\| T(v)\right\|\leq L\left|   v \right| para todo v\in\mathbb{R}^n . Portanto, isso completa a prova de que T é contínua, afinal, dados x,y\in\mathbb{R}^n , tem-se, pelo provado que

\displaystyle \left\| Tx-Ty\right\| =\left\|   T(x-y)\right\|\leq L\left| x-y \right| .



Teorema 3: Quando \mathbb{R}^n está munido de alguma norma equivalente à norma do máximo, K\subset\mathbb{R}^n é compacto se, e somente se, é limitado e fechado em \mathbb{R} ^n .


Demonstração: Se K\subset \mathbb{R}^n é fechado e limitado, dada uma seqüência em K , segue, pelo teorema de Bolzano-Weierstrass (provado no outro post), que existe uma subseqüência convergente em \mathbb{R}^n . Como K é fechado, segue que essa subseqüência converge em K . Isso completou a prova de que K é compacto.

Reciprocamente, se K é compacto, segue que K é totalmente limitado (em particular, limitado) e fechado.



Leminha: Se \mathbb{R}^m está munido de uma norma equivalente à norma do máximo, segue que

\left\{ x:\left| x\right| =1 \right\} = S^{m-1}\subset\mathbb{R}^m é compacto.


Demonstração: Com efeito, basta provar que S^{m-1} é fechado (afinal, S^{m-1} é obviamente limitado). Note que, dado uma seqüência convergente x_n\to L tem-se que \left| x_n\right| \to \left| L\right| . Logo se (u_n) é uma seqüência convergente de vetores em S^{m-1} , como \left| u_n\right|\to 1 , segue que a norma do limite é 1 . E, portanto, o limite está em S^{m-1} .


Teorema 4: Seja E um espaço vetorial normado de dimensão finita m . Segue que existe um homeomorfismo linear H: \mathbb{R}^m\to E .


Demonstração: Com efeito, dada uma base \left\{u_1, \ldots ,u_m\right\} , define-se H: \mathbb{R} ^m \to E , \displaystyle H(x) = \sum_{i=1}^n x_i u_i .

H é linear. Portanto, pelo teorema 2, é contínua. Além disso, H é obviamente bijetiva. Como S^{m-1}\subset\mathbb{R}^m é compacto, segue que

f: S^{m-1}\to\mathbb{R} , f(u)=\left\| H(u)\right\| ,

assume máximo e mínimo (por ser contínua). Como H é bijetiva (em particular, injetiva), segue que H(x)\neq 0 para todo x\in S^{m-1} . Portanto, o mínimo de f é um número r> 0 .

Tem-se, então, que, dado y\in\mathbb{R}^m ,

\displaystyle \left\| H\left( \frac{y}{ \left| y\right| }\right) \right\| = \frac{1}{\left| y \right| } \left\| H(y)\right\| \geq r . Disso segue que

\left\| H(y)\right\| \geq r \left| y \right| .

Isso provou a continuidade da inversa.



Corolário 4.1: Sejam E e F espaços vetoriais normados de dimensão finita. Toda aplicação linear T: E\to F é contínua.


Demonstração: Com efeito, pelo teorema 4, existe um homeomorfismo linear H:\mathbb{R}^m\to E (onde m é a dimensão de E ).

Tem-se que (T\circ H) : \mathbb{R}^m\to F é uma aplicação linear. Logo, pelo teorema 2, é contínua. Como H é um homemorfismo, segue que

T= (T\circ H)\circ H^{-1} é composição de aplicações contínuas e, portanto, contínua.



Corolário 4.2: Todas normas em espaço vetorial de dimensão finita são equivalentes.


Demonstração: Com efeito, seja E um espaço vetorial de dimensão finita. Dadas duas normas \left\| \cdot \right\| _1 , \left\| \cdot \right\| _2 em E , segue que

id: (E, \left\| \cdot \right\| _1 ) \to (E, \left\| \cdot \right\| _2 )

e sua inversa são aplicações lineares. Portanto, pelo corolário acima, elas são contínuas e, então, as normas são equivalentes.



Observação: Da equivalência das normas em espaços vetoriais de dimensão finita, segue que, para qualquer espaço vetorial normado E de dimensão finita, valem:

1) K\subset E é compacto se, e somente se, K é limitado e fechado em E .

2) Vale o teorema de Bolzano-Weierstrass em E . Ou seja, toda seqüência limitada em E possui subseqüência convergente em E .

Teorema 5: Todo espaço vetorial normado de dimensão finita é completo.


Demonstração: Seja E um espaço vetorial normado de dimensão finita. Segue, pelo provado, que toda seqüência limitada possui subseqüência convergente. Logo, dada uma seqüência de Cauchy (u_n) em E , segue que ela é limitada. Portanto ela possui subseqüência convergente. Mas é fácil de verificar que, se uma seqüência de Cauchy possui uma subseqüência convergente, ela converge: portanto (u_n) converge.



Bolzano-Weierstrass em R^n

março 21, 2010

Bom, eu acho que já fiz um post sobre isso. No entanto, acho que encontrei uma forma mais elegante de expor.

Será usado uma coisa fácil de provar: a topologia de \mathbb{R} ^n munido da norma do máximo é a topologia produto (a norma do máximo induz a topologia produto).

Duas normas num espaço vetorial são chamadas equivalentes, quando as métricas provenientes dessas métricas são equivalentes. Isso implica, por exemplo, que se uma seqüência num espaço vetorial é convergente numa norma específica, então ela é convergente em qualquer norma equivalente a essa norma.

Teorema (Bolzano-Weierstrass): Toda seqüência limitada de vetores em R^n (munido da norma do máximo (ou de qualquer uma equivalente)) possui uma subseqüência convergente.

Demonstração: Com efeito, faz indução sobre n . O teorema de Bolzano-Weierstrass vale para \mathbb{R} (munido da norma do máximo). Supõe-se que o teorema é verdadeiro para n-1 , ou seja, toda seqüência limitada em \mathbb{R}^{n-1} munido da norma do máximo, possui uma subseqüência convergente. Logo, dada uma seqüência limitada (u_m) em \mathbb{R} ^n (munido da norma do máximo), note que (v_m) é limitada em \mathbb{R}^{n-1} , onde, para cada m\in\mathbb{N} , v_m = (u_{m_1}, \ldots , u_{m_{n-1}} )

(as primeiras n-1 coordenadas de u_m ).

Como \max _{i=1}^n \left| u_{m_i}\right| \geq \max _{i=1}^{n-1} \left| u_{m_i}\right| para todo m\in\mathbb{N} , segue que (v_m) é limitada. Pela hipótese, segue que existe um conjunto infinito N_1\subset\mathbb{N} de índices tal que (v_m)_{m\in N_1} converge, portanto cada coordenada converge. Analogamente, pelo teorema de Bolzano-Weierstrass na reta, existe um conjunto N_2\subset N_1 infinito de índices que torna (u_{m_n})_{m\in N_2} convergente em \mathbb{R} .

Logo tem-se que  todas as coordenadas de (u_m)_{m\in N_2} convergem, ou seja, (u_m)_{m\in N_2} converge em \mathbb{R} ^n .

CQD



Ponto Fixo de Banach

fevereiro 28, 2010

Um dos meus grandes interesses é em teoremas sobre pontos fixos. Parte do interesse nisso vem da grande aplicabilidade dos resultados. Um dos teoremas mais elementares sobre ponto fixo é o teorema de Banach. Será feito uma breve exposição desse teorema e de algumas de suas importantes aplicações: como o teorema da função inversa e um teorema de existência e unicidade de soluções para sistemas de EDO’s.

Seja M um espaço métrico. Uma contração é uma aplicação f:M\to M Lipschitziana, com constante  de Lipschitz no intervalo \left[ 0,1\right) . Ou seja, existe c\in \left[ 0 ,1\right) tal que

d(f(x),f(y) )\leq c\cdot d(x,y) .

Teorema 1 (Teorema do Ponto fixo de Banach): Seja \displaystyle M um espaço métrico completo. Toda contração \displaystyle f: M\to M possui um único ponto fixo (e ele é atrator).

Demonstração: Com efeito, seja \displaystyle M completo. Se \displaystyle f: M\to M é uma contração, toma-se \displaystyle \displaystyle x\in M e define-se \displaystyle \displaystyle y_n = f^n(x) .

Tem-se que \displaystyle d(y_1 , y_2) = d(f(x),f^2(x))\leq c\cdot d(x,f(x)) , onde \displaystyle c\in \left[0,1\right) .

Prova-se, então, por indução que \displaystyle \displaystyle d(y_n,y_{n+1} ) \leq c^n\cdot d(x, f(x)) .

Supondo por indução que \displaystyle d(y_n,y_{n+1} ) \leq c^n\cdot d(x, f(x)) , segue que

\displaystyle d(y_{n+1},y_{n+2} ) \leq c\cdot d(y_n,y_{n+1} ) \leq c^{n+1}\cdot d(x, f(x)) . Isso completa a prova por indução.

Portanto, dados \displaystyle n,p\in\mathbb{N} , tem-se que

\displaystyle d(y_n , y_{n+p} )\leq \sum_{i=1}^p d(y_{n+i-1}, y_{n+i})\leq \sum_{i=1}^p c^{n+i-1}\cdot d(x,f(x) )

\leq c^n\cdot d(x,f(x)) \sum_{i=1}^p c^{i-1}\leq c^n d(x,f(x)) \sum_{i=1}^p c^{i-1} .

Como \displaystyle \sum c^i é monótona crescente e, por \displaystyle c\in \left[ 0, 1 \right) , também é convergente, tem-se que \displaystyle \sum_{i=1}^p c^{i-1} é menor ou igual ao seu limite \displaystyle \frac{1}{1-c} . Portanto

\displaystyle d(y_n , y_{n+p} )\leq c^n d(x,f(x)) \sum_{i=1}^p c^{i-1} \displaystyle \leq d(x,f(x))\cdot \frac{c^n}{1-c} .

Como \displaystyle lim c^n =0 , segue que, dado \displaystyle \varepsilon > 0 , consegue-se tomar \displaystyle n_0\in\mathbb{N} tal que \displaystyle n> n_0 e \displaystyle p\in \mathbb{N}   implique

\displaystyle d(y_n , y_{n+p} )\leq c^n d(x,f(x)) \sum_{i=1}^p c^{i-1}\leq d(x,f(x))\cdot \frac{c^n}{1-c}\leq \varepsilon .

Ou seja, provamos que \displaystyle (y_n) é de Cauchy. Por \displaystyle M ser completo, isso implica que \displaystyle (y_n) converge.

Note que \displaystyle (f(y_n)) =(y_{n+1}) . Tem-se que \displaystyle lim f(y_n) = lim (y_n) .  Mas, por outro lado, por \displaystyle f ser contínua, tem-se que

\displaystyle lim f(y_n)=f(lim (y_n) ) . Portanto, pelo teorema da unicidade de limites (por M ser um espaço métrico), segue que  \displaystyle lim (y_n) = f(y_n)=f(lim (y_n) ) , id est, \displaystyle lim (y_n) é ponto fixo.

Isso provou a existência. Resta provar a unicidade. Basta ver que, se \displaystyle z,w\in M são pontos fixos distintos, tem-se que \displaystyle d(f(z),f(w))\leq c d(z,w) , ou seja, em particular, por \displaystyle c\in \left[0,1\right) ,

\displaystyle d(f(z),f(w)) < d(z,w) . Absurdo. Logo deveríamos ter \displaystyle z= w .

CQD


Leminha: Seja \displaystyle f: M\to M uma contração com constante de contração c . Se

\displaystyle r\geq\frac{d(a,f(a))}{1-c} , então a bola fechada \displaystyle B_a =B\left[ a; r\right] é invariante por f . Em particular, se M é completo, o ponto fixo de f está em B_a .

Demonstração: Com efeito, se \displaystyle f: M\to M é uma aplicação com constante de contração c . Dado a\in M , toma-se \displaystyle B_a =B\left[ a; r\right] . Dado x\in B_a , segue que

\displaystyle d(f(x), a)\leq d(f(a),a)+d(f(a),f(x))\leq d(f(a),a)+c\cdot d(a,x)

\displaystyle\leq d(f(a),a)+c\cdot\frac{d(a,f(a))}{1-c} = \frac{d(a,f(a))}{1-c} .

Isso provou que f(B)\subset B .

Em particular, se M é completo, tem-se que, pelo teorema de Banach, que f possui um único ponto fixo g\in M e, além disso, ele é atrator. Dado x\in B_a , toma-se a seqüência y_n = f^n(x) tem-se que (y_n) converge para esse ponto fixo g . Como B_a é fechado, segue que g\in B_a .

CQD


Lema 2 (Perturbação da identidade 1): Sejam E um espaço de Banach e \phi : E\to E uma contração. Segue que a aplicação f: E\to E , onde f(x)=x+\phi (x) , é um homeomorfismo.

Demonstração: Com efeito, primeiramente prova-se a sobrejetividade. Dado z\in E , segue que g: E\to E , g(x)=z-\phi (x) , é uma contração. Pelo teorema de Banach g possui um único ponto fixo. Ou seja, existe um único x_z\in E tal que x_z = z-\phi (x_z) , e isso quer dizer que existe um único x_z\in E tal que

f(x_z)=z=x_z+ \phi (x_z) .

Isso provou a sobrejetividade e injetividade de f .

Tem-se que, dados f(x), f(y)\in E ,

\left| f(x)-f(y)\right| \geq \left|x-y\right| - \left| \phi (x) - \phi (y)\right|

\geq \left| x-y\right| - c\left| x-y\right| = (1-c)\left| x-y\right| .

Isso prova a continuidade da inversa.

CQD


Lema 3 (Perturbação da identidade 2): Sejam E um espaço de Banach, U\subset E um aberto e \phi : U\to E uma contração. Segue que a aplicação f: U\to E , onde f(x)=x+\phi (x) , é um homeomorfismo sobre um aberto V\subset E .

Demonstração: Seja c uma constante de contração. Tem-se que, dados f(x), f(y)\in f(U) ,

\left| f(x)-f(y)\right| \geq \left|x-y\right| - \left| \phi (x) - \phi (y)\right|

\geq \left| x-y\right| - c\left| x-y\right| = (1-c)\left| x-y\right| .

Isso provou a injetividade e a continuidade da inversa. Ou seja, procou que f é um homeomorfismo sobre f(U) . Resta provar que f(U) é aberto em E .

Dado f(a)\in f(U) , segue que existe r>0 tal que B= B\left[ a;r\right]\subset U (por U ser aberto). Provemos que B( f(a); (1-c) r )\subset f(U) .

Dado y\in B(f(a); (1-c)r ) , segue que T_y : B\to E , onde T_y(x)=y-\phi (x) , é uma contração. Como B é fechado de um espaço de Banach, segue que é completo.   Tem-se que

\left|a-T_y(a)\right| = \left| a+\phi (a ) -y\right| = \left| y-f(a) \right| < (1-c)\cdot r .

Portanto, pelo leminha, segue que T_y (B )\subset B . Logo, pelo teorema do ponto fixo de Banach, T_y possui um único ponto fixo. Disso segue que existe x_y\in B tal que f(x_y) = y . Ou seja, y\in f(U) . Isso completou a prova de que B(f(a); (1-c)r )\subset f(U) . E isso, por sua vez, completou a prova de que f(U) é aberto.

CQD

Corolário do lema 3: Sejam U\subset\mathbb{R} ^m um aberto e f:U\to\mathbb{R}^m uma aplicação da forma f(x) = T\cdot x + \phi (x) , onde T:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^m é um isomorfismo de espaços vetoriais e \phi : U\to\mathbb{R}^m é lipschitziana. Se a constante k de Lipschitz de \phi   é tal que \left\| T^{-1} \right\|\cdot k <1 , segue qye f é um homeomorfismo de U sobre um aberto f(U)\subset\mathbb{R}^m .

Demonstração: Com efeito, dados x,y\in U , tem-se que

\left| T^{-1}\cdot \phi (x)-T^{-1}\cdot \phi (y)\right| \leq

\left\| T^{-1}\right\| \left| \phi (x)-\phi (y)\right|\leq \left\| T^{-1}\right\|\cdot k\cdot \left| x-y\right| .

Isso provou que T^{-1}\cdot f é uma perturbação da identidade, pois

T^{-1}\cdot f (x) = x + T^{-1}\cdot \phi (x) . Logo, pelo lema demonstrado, T^{-1}\cdot f é um homeomorfismo de U sobre o aberto T^{-1} f(U)\subset\mathbb{R}^m . Como T é um isomorfismo de espaços vetoriais, segue que f é um homeomorfismo de U sobre o aberto f(U) .

CQD

Teorema 4 (Teorema da Função Inversa): Sejam U\subset \mathbb{R}^m um aberto e f: U\to\mathbb{R}^m de classe C^k tal que, em um ponto x_0\in U , f''(x_0) é um isomorfismo. Então f é um difeomorfismo de classe C^k de uma vizinhança V de x_0 sobre uma vizinhança U de f(x_0) .

Demonstração: Apenas para facilitar notação, sem perda de generalidade, supomos f'(0) é um isomorfismo e f(0)=0 . Segue que f(x) = f'(0)\cdot x + r(x) .

Note que r(x) = f(x)- f'(0)\cdot x é de classe C^k . Além disso, r'(0) = 0 . Seja \lambda < \frac{1}{\left| f'(0)\right| } . Segue que existe uma bola aberta V centrada em 0 tal que:

1) \left| r'(x)\right| <\lambda   para todo x\in V (basta usar a continuidade de r' );

2)f'(x) é um ismorfismo para todo x\in V (basta usar a continuidade de f' ).

Pela desigualdade do valor médio, \left| r(x)-r(y)\right| \leq \lambda \left| x-y\right| para todo x,y\in V . O corolário acima nos diz que f|_V é um homeomorfismo sobre um aberto f(V)= U\subset\mathbb{R}^m (vizinhança de f(0) ).

Provemos que g=f^{-1}: W\to V é diferenciável. Para isso, devemos provar que \displaystyle\frac{s(k)}{ \left| k\right| } = 0 , onde g(y+k) = g(y)+(f'(x))^{-1}\cdot k + s(k) .

.. .. ..

Teorema 6 (Teorema da Existência e Unicidade): Seja E um espaço de Banach. Suponha que f: L\times B\to E , onde B\subset E é uma bola fechada centrada em x_0 (com raio \beta ) e L\subset\mathbb{R} é um intervalo fechado centrado em t_0 (com raio \alpha ), é uma aplicação contínua limitada por M cumprindo a condição de Lipschitz \left| f(t, x) - f(t,y)\right|\leq c\cdot\left| x-y\right| para todo (t,x), (t,y) \in L\times B . Segue que existe uma única aplicação \phi: I\to E , onde I é centrado em t_0 (com raio min\left\{ \alpha , \frac{\beta }{M}\right\} ), diferenciável (de fato, C^1 ) que cumpre \phi ' (t) =f(t, \phi (t) ) e \phi (t_0)=x_0 .

Demonstração: