Gráfico Compacto

abril 19, 2010

Em geral, quando o gráfico de uma função é compacto, não podemos dizer se a função é contínua. No entanto, quando o domínio é Hausdorff, o quadro muda. Nesse caso, a compacidade do gráfico da função já implica a continuidade da função. Isso é útil, por exemplo, para montar homotopias (quando estamos com espaços Hausdorff e sabemos que o gráfico é compacto, não precisaremos “gastar tempo” mostrando que a função é contínua).

Esse resultado é conseqüencia de um conhecido resultado sobre funções com domínio compacto e contra-domínio Hausdorff: “Sejam X Hausdorff e Z compacto. Se f: Z\to X é uma bijeção contínua, então f é um homeomorfismo.” (Para demonstrar esse resultado basta verificar que a aplicação é fechada. Afinal, dado um fechado F no domínio, tem-se que F é fechado de um compacto e, portanto, compacto. Logo a imagem é compacta. Mas, X é Hausdorff. Logo a imagem de F é fechada em X .)

Esse post é sobre um teorema interessante em topologia geral. Primeiramente, um lema trivial será provado.

Lema 1: Sejam X,Y espaços topológicos. Se f:X\to Y é contínua, X é homeomorfo ao gráfico de f .

Demonstração: Seja G(f) = \left\{ (x,f(x)) : x\in X\right\} o gráfico da função f . Basta ver que H: X\to G(f) , H(x)=(x,f(x)) é um homeomorfismo.

CQD

Teorema 2: Sejam Y um espaço topológico, X um espaço Hausdorff e f:X\to Y uma aplicação. G(f)=\left\{ (x,f(x)): x\in X \right\} é compacto se, e somente se, f é contínua e X é compacto.

Demonstração: Com efeito, se f é contínua e X é compacto, segue, pelo lema 1, que o gráfico G(f) é homeomorfo a X e, portanto, compacto.

Reciprocamente, seja G(f) compacto. Tem-se que a projeção \pi _X : G(f)\to X é uma bijeção contínua. Como X é Hausdorff  e G(f) é compacto, segue que é um homeomorfismo. Logo X é compacto. Além disso, como a projeção \pi _Y: G(f)\to Y é contínua , segue que f= ( \pi _Y\circ \pi _X ^{-1} ) é composição de aplicações contínuas e, portanto, contínua.

CQD

O post apresenta um lema que torna direta a demonstração deste post.

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Teorema de Tychonoff e o tal Alexander — parte 2: caso geral

janeiro 29, 2010

Esse post demorou a sair porque minha “quase demonstração” para o teorema de Alexander não funcionou! 😦
Aí eu peguei da Wikipedia. 🙂

Continuando o post anterior, vamos (tentar) obter o caso geral do teorema de Tychonoff. O primeiro passo é definir o que seria a topologia produto para uma coleção (X_\lambda, \tau_\lambda), \lambda \in \Lambda de espaços topológicos. Vamos usar X para representar o conjunto dado pelo produto cartesiano de X_\lambda. E vamos convencionar que \pi_\lambda: X \rightarrow X_\lambda é a projeção natural.

Em um primeiro momento, pode-se argumentar que o mais “natural” seria definir a topologia produto como sendo aquela gerada pela família \prod_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda, A_\lambda \in \tau_\lambda. Certamente que foi isso o que eu pensei da primeira vez que me deparei com o problema. Essa é uma topologia possível, mas no entanto parece não ser tão fácil de descrever suas propriedades em termos das componentes X_\lambda.

Por exemplo, dada uma sequência (ou rede) x_n = (x_{\lambda n})_{\lambda \in \Lambda} \in X, como podemos dizer — baseado nas coordenadas x_{\lambda n} — quando é que x_n é convergente? Analogamente, quando é que uma função f: Y \rightarrow X é contínua nesta topologia?

A facilidade de se fazer essa conexão entre o comportamento do produto e o comportamento de cada coordenada individualmente é a essência da topologia produto.

Definição: A topologia produto é a topologia mais fraca tal que todas as projeções \pi_\lambda são contínuas.

Observações:
1. A topologia produto é portanto gerada pelos conjuntos da forma \pi_\lambda^{-1}(A_\lambda), com A_\lambda \in \tau_\lambda.

2. A topologia produto pode ser caracterizada através de redes: Se x_\gamma = (x_{\lambda \gamma}), então x_\gamma \rightarrow (x_\lambda) se, e somente se, para todo \lambda \in \Lambda, x_{\lambda \gamma} \rightarrow x_\lambda.

3. A topologia produto é, no caso infinito, estritamente mais fraca que a topologia gerada pela família \prod_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda, A_\lambda \in \tau_\lambda.

4. A topologia produto apresentada acima coincide, no caso finito, com a topologia produto definida no post anterior.

A observação 2 não foi demonstrada porque para isso precisaríamos definir com precisão o conceito de redes e elaborar caracterizações de fenômenos topológicos em termos deste novo conceito.

Vamos apresentar um exemplo que pode ajudar a convencer o leitor de que o conceito de topologia produto não é tão artificial quanto parece.

Exemplo 1: (topologia da convergência ponto-a-ponto)
Dado um conjunto X e um espaço topológico Y, seja \mathcal{F} = \{ f: X \rightarrow Y \} a família de todas as aplicações de X para Y. O conjunto \mathcal{F} pode ser identificado com Y^X = \prod_{x \in X} Y, onde f \in \mathcal{F} é representado em Y^X através das coordenadas \pi_x(f) = f(x).

Na topologia produto, dizer que f_\gamma \rightarrow f, é o mesmo que dizer, pela observação 2, que para cada x \in X, f_\gamma(x) \rightarrow f(x). Ou seja, é o mesmo que dizer que f_\gamma converge ponto-a-ponto para f.

Pelo teorema de Tychonoff (que ainda vamos demonstrar), temos que se Y for compacto, então \mathcal{F}, com a topologia produto (convergência de redes ponto-a-ponto) será também compacto.

Usando uma construção análoga para o espaço bi-dual E^{**} de um espaço de Banach E, é demonstrada a compacidade da bola fechada na topologia fraca-*.

Exemplo 2: (continuidade)
Seja Z um espaço topológico. Então uma função f: Z \rightarrow X será contínua se, e somente se, \pi_\lambda \circ f for contínua para todo \lambda \in \Lambda.

A demonstração disso é assim: se lembra que no post anterior foi comentado que dada uma sub-base para a topologia de X, para que f seja contínua, basta que a imagem inversa de cada elemento da sub-base seja aberto? Pois bem… neste caso, a sub-base é dada pelos conjuntos da forma \pi_\lambda^{-1}(A), A \in \tau_\lambda.

Ou seja, f é contínua se, e somente se, para todo \lambda \in \Lambda e A \in \tau_\lambda, (\pi_\lambda \circ f)^{-1}(A) = f^{-1}(\pi_\lambda^{-1}(A)) for aberto. Ou seja, exatamente quando \pi_\lambda \circ f for contínua para todo \lambda \in \Lambda.

O leitor fica convidado (intimado!) a procurar e analisar outras demonstrações desse fato para perceber como a consciência do palpel exercido pela sub-base torna a demonstração mais simples.


Vamos então anunciar o teorema de Alexander e mostrar como ele leva à demonstração do teorema de Tychonoff.

Teorema: (Alexander) Seja (X, \tau) um espaço topológico e \mathcal{C} uma sub-base para \tau. Então, para que X seja compacto é suficiente (e necessário) que toda cobertura de X por elementos de \mathcal{C} possua uma sub-cobertura finita.

Demonstração: (ao final do post).

Teorema: (Tychonoff) Seja (X_\lambda, \tau_\lambda), \lambda \in \Lambda uma coleção de espaços topológicos compactos. Então, X = \prod_{\lambda \in \Lambda} X_\lambda é compacto na topologia produto.

Demonstração:
Pelo teorema de Alexander, basta mostrar que toda cobertura de X da forma B_\gamma = \pi_{\lambda(\gamma)}^{-1}(A_\gamma), \gamma \in \Gamma possui uma sub-cobertura finita. Vamos particionar \Gamma da seguinte maneira: defina \Gamma_\lambda = \{ \gamma \in \Gamma: \lambda(\gamma) = \lambda \}. Para cada \lambda, faça A_\lambda = \bigcup_{\gamma \in \Gamma_\lambda} A_\gamma.

Suponha — para obter uma contradição — que para todo \lambda, a família A_\gamma, \gamma \in \Gamma_\lambda não cobre X_\lambda, ou seja, A_\lambda \neq X_\lambda. Neste caso, para cada \lambda \in \Lambda, existe x_\lambda \in X_\lambda \setminus A_\lambda. Portanto, fazendo x = (x_\lambda), para todo \gamma \in \Gamma, x \not \in \pi_{\lambda(\gamma)}^{-1}(A_\gamma).

Ou seja, \Gamma não daria uma cobertura para X. Portanto, existe \lambda tal que X_\lambda = \bigcup_{\gamma \in \Gamma_\lambda} A_\gamma. Pela compacidade de X_\lambda, sabemos que existe um subconjunto finito \Gamma' \subset \Gamma_\lambda \subset \Gamma tal que X_\lambda = \bigcup_{\gamma \in \Gamma'} A_\gamma. E portanto, X = \pi_\lambda(X_\lambda) = \bigcup_{\gamma \in \Gamma'} \pi_\lambda^{-1}(A_\gamma). Ou seja, \pi_\lambda^{-1}(A_\gamma), \gamma \in \Gamma' é uma sub-cobertura finita.


No teorema acima usamos o axioma da escolha para escolher x_\lambda \not \in A_\lambda. Para a demonstração do teorema de Alexander utilizaremos o lema de Zorn.

Demonstração do Teorema de Alexander:
Suponha que (X, \tau) não seja compacto. Então, pelo lema 1 do post anterior, a coleção \mathcal{F} de todas as coberturas abertas de X por elementos de \beta(\mathcal{C}) sem sub-cobertura finita não é vazia. Lembre-se que \beta(\mathcal{C}) são os conjuntos da forma A_1 \cap \dotsb \cap A_n, com A_j \in \mathcal{C}.

Afirmação 1: A coleção \mathcal{F} possui um elemento maximal \Gamma_m.

Pelo lema de Zorn, basta mostrar que para todo subconjunto não-vazio \mathcal{F}' \subset \mathcal{F} totalmente ordenado, \Gamma = \bigcup_{\Gamma' \in \mathcal{F}'} \Gamma' é um elemento de \mathcal{F}. De fato, \Gamma, por conter uma cobertura de X é também uma cobertura de X. Resta então mostrar que \Gamma não possui sub-cobertura finita. Se A_1, \dotsc, A_n fosse uma subcobertura finita de \Gamma, então existiria \Gamma' \in \mathcal{F}' tal que A_j \in \Gamma' para todo j = 1, \dotsc, n. Ou seja, A_1, \dotsc, A_n seria uma sub-cobertura finita de \Gamma', contrariando a definição de \mathcal{F}'.

O fato de \Gamma_m ser maximal, implica que se A \not \in \Gamma_m for aberto, então \{A\} \cup \Gamma_m possui uma sub-cobertura finita.

Afirmação 2: A família \mathcal{C}_m = \mathcal{C} \cap \Gamma_m não cobre X.

Caso contrário, por hipótese, possuiria uma sub-cobertura finita. Esta, por sua vez, também seria sub-cobertura finita de \Gamma_m.

Pela afirmação 2, existe x \in X que não é coberto por \mathcal{C}_m. Como \Gamma_m cobre X, existe A_x = A_1 \cap \dotsc \cap A_n \in \Gamma_m, com A_j \in \mathcal{C}, tal que x \in A_x.

Afirmação 3: Nenhum dos A_j pertence a \Gamma_m.

Caso contrário, teríamos x \in A_j \in \mathcal{C} \cap \Gamma_m, contrariando a escolha de x.

Pela afirmação 3, para cada j = 1, \dotsc, n, as coberturas \{A_j\} \cup \Gamma_m são estritamente maiores que \Gamma_m e portanto possuem sub-cobertura finita \{A_j\} \cup \Gamma_j, com \Gamma_j \subset \Gamma_m. Assim, X = A_j \cup \bigcup_{A \in \Gamma_j} A.

Fazendo \tilde{\Gamma} = \bigcup_{j=1}^n \Gamma_j, é fácil verificar que X = A_x \cup \bigcup_{A \in \tilde{\Gamma}} A. Ou seja, \{A_x\} \cup \tilde{\Gamma} é uma sub-cobertura finita de \Gamma_m.


Observações:
1. A notação tá muito ruim! 😦

2. A demonstração da afirmação 1 é muito parecida com a demonstração de que todo espaço vetorial possui uma base. Uma base é um conjunto maximal dentre os conjuntos linearmente independentes. Na demonstração da afirmação 1 utilizamos o fato de que a união crescente de famílias que não possuem sub-cobertura finita também não possui sub-cobertura finita. Do mesmo modo, a união crescente de conjuntos linearmente independentes é um conjunto linearmente independente. É interessante observar o papel da palavra finito. Note que um conjunto linearmente independente é aquele que não possui sub-conjuntos finitos linearmente dependentes. Assim como as coberturas de \mathcal{F} são aquelas que não possuem sub-coberturas finitas!!

3. Foi preciso usar que \mathcal{C} é uma sub-base apenas para que A_x fosse uma interseção finita de conjuntos de \mathcal{C}. Assim, \tilde{\Gamma} pôde ser escrito como uma união finita de conjuntos finitos.


Teorema de Tychonoff e o tal Alexander — parte 1: caso finito

janeiro 25, 2010

Suponha que X_\lambda seja uma coleção de espaços topológicos compactos. Primeiramente, vamos mostrar que se a coleção for finita o espaço produto será também compacto. A situação é mais complicada quando a coleção não é finita, mas o resultado continua valendo. Este é o teorema de Tychonoff.

Sempre que começo a falar de topologia o assunto começa a se estender muito. Por isso esse post será dividido em duas partes. A primeira parte tratará de algumas definições e propriedades de espaços topológicos em geral e da topologia produto para uma coleção finita de espaços topológicos. O post ficou longo porque considero importante que seja explicitado o papel exercido pelas bases e sub-bases dos espaços topológicos ao invés de embutir essas propriedades no meio das demonstrações.

Definição: Um espaço topológico (X, \tau) é compacto quando qualquer cobertura aberta finita (ou seja, uma família de abertos A_\gamma tal que X = \bigcup A_\gamma) possuir uma subcobertura finita.

Definição: Uma sub-base para um espaço topológico (X, \tau) é uma família geradora da topologia. Ou seja, é um subconjunto \mathcal{C} \subset \tau, tal que a menor topologia de X que contém \mathcal{C} é exatamente \tau. A topologia gerada por \mathcal{C} é denotada por \tau(\mathcal{C}).

Definição: Uma base para um espaço topológico (X, \tau) é uma sub-família \beta \subset \tau, tal que todo aberto não vazio pode ser escrito como uma união de elementos de \beta.

Muitos fenômenos topológicos podem ser facilmente caracterizados através de bases ou sub-bases da topologia considerada. Por exemplo, para que uma aplicação f: (X, \tau_X) \rightarrow (Y, \tau_Y) seja contínua, basta que para uma sub-base \mathcal{C} \subset \tau_Y, tenhamos f^{-1}(\mathcal{C}) \subset \tau_X. Isso se deve ao fato de a aplicação f^{-1}: 2^Y \rightarrow 2^X preservar as operações de união e interseção.

É fácil perceber (lema a seguir) que para saber se um espaço é compacto, basta considerar apenas as coberturas formadas por uma base qualquer da topologia. O que não é tão evidente é que de fato é suficiente considerar uma sub-base. Este é o teorema de Alexander, que demonstraremos na segunda parte deste post.

Lema 1: Seja (X, \tau) um espaço topológico e \beta \subset \tau uma base. Então X será compacto se, e somente se, toda cobertura de X formada por elementos A_\gamma \in \beta possuir uma subcobertura finita.

Demonstração:
Seja B_\iota \in \tau uma cobertura de X. Cada B_\iota é escrito como uma união B_\iota = \bigcup A_{\iota\gamma} de elementos da base \beta. A família A_{\iota\gamma} \in \beta é uma cobertura de X e por hipótese, possui uma subcobertura finita A_{\iota_1\gamma_1}, \dotsc, A_{\iota_n\gamma_n}. Como A_{\iota_j\gamma_j} \subset B_{\iota_j}, é evidente que B_{\iota_1}, \dotsc, B_{\iota_n} é uma subcobertura finita.


Ao contrário do que acontece por exemplo com \sigma-álgebras, a topologia gerada por uma família \mathcal{C} é bastante fácil de descrever. E, por sorte :-), também é fácil apresentar uma base para esta mesma topologia.

Lema 2: Seja \mathcal{C} uma família de subconjuntos de X que cubra X e tal que \emptyset \in \mathcal{C} (podemos acrescentar X,\emptyset à família sempre que necessário). Então, \tau(\mathcal{C}) é formada pelas uniões de interseções finitas de elementos de \mathcal{C}. Em particular, \beta(\mathcal{C}) = \{ A_1 \cap \dotsb \cap A_n : A_j \in \mathcal{C}, n \in \mathbb{N}\} é uma base para \tau(\mathcal{C}).

Demonstração:
É evidente, já que uma topologia é fechada por interseção finita, que qualquer topologia que contenha \mathcal{C} deve necessariamente conter \beta(\mathcal{C}). Do mesmo modo, qualquer topologia que contenha \beta(\mathcal{C}), deve conter as uniões arbitrárias de seus elementos, e portanto deve conter \tau(\mathcal{C}). Se mostrarmos então que \tau(\mathcal{C}) é de fato uma topologia, será necessariamente a menor que contém \mathcal{C}.

Basta então — boa sorte 😛 — verificar que (X, \tau(\mathcal{C})) satisfaz os devidos axiomas para ser um espaço topológico.

Como os elementos não vazios de \tau(\mathcal{C}) são uniões de elementos de \beta(\mathcal{C}), então \beta(\mathcal{C}) é uma base para a topologia \tau(\mathcal{C}).


Definição: Sejam (X_1, \tau_1), \dotsc, (X_n, \tau_n) espaços topológicos. A topologia em X = X_1 \times \dotsb \times X_n gerada pela família A_1 \times \dotsb \times A_n para A_j \in \tau_j é a topologia produto em X. Esta topologia também pode ser caracterizada como a menor tal que a projeção canônica \pi_j: X \rightarrow X_j é contínua. Como a família geradora cobre X e é fechada por interseção finita, temos que além de geradora, esta família é uma base para a topologia produto.

Observação: É fácil verificar — dever de casa… — que se \mathcal{C}_j são sub-bases de \tau_j, então a topologia produto é gerada pela família A_1 \times \dotsb \times A_n para A_j \in \mathcal{C}_j.

Lema 3: A topologia produto \tau_1 de X_1 \times X_2 \times X_3 é igual à topologia \tau_2 de (X_1 \times X_2) \times X_3 quando fazemos a identificação canônica entre ambos os espaços.

Demonstração:
Pela observação acima, \tau_2 é gerada por A_{12} \times A_3, onde A_{12} é da forma A_1 \times A_2. Ou seja, ambas as topologias são geradas por conjuntos da forma A_1 \times A_2 \times A_3 e portanto são iguais.


A versão do teorema de Tychonoff para uma família finita segue dos lemas acima.

proposição: Sejam (X_1, \tau_1), \dotsc, (X_n, \tau_n) espaços topológicos compactos, e X = X_1 \times \dotsb \times X_n. Então, X é compacto na topologia produto.

Demonstração:
Pelo lema 3, basta mostrar para o caso n = 2. Pelos lemas 1 e 2, precisamos mostrar que toda cobertura de X_1 \times X_2 da forma A_{\lambda1} \times A_{\lambda1} \in \tau_1 \times \tau_2, \lambda \in \Lambda, possui uma subcobertura finita.

Para todo a \in X_1, seja \Gamma(a) = \{ \lambda \in \Lambda : a \in A_{\lambda1} \}. Então, a família A_{\gamma 2}, \gamma \in \Gamma(a) cobre X_2 e portanto, tem uma subcobertura finita dada por \Gamma'(a) \subset \Gamma(a). Fazendo A(a) = \bigcap_{\gamma \in \Gamma'(a)} A_{\gamma 1}, temos que A(A) é aberto e que A(a) \times X_2 \subset \bigcup_{\gamma \in \Gamma'(a)} A_{\gamma 1} \times A_{\gamma 2}.

Como X_1 = \bigcup_{a \in X_1} A_a é compacto, existem a_1, \dotsc, a_m tais que X_1 = A(a_1) \cup \dotsb \cup A(a_m). Assim, X_1 \times X_2 = \bigcup_{j=1}^m (A(a_j) \times X_2) \subset \bigcup_{j=1}^m \bigcup_{\gamma \in \Gamma'(a_j)} A_{\gamma 1} \times A_{\gamma 2}. Ou seja, \Gamma = \bigcup_{j=1}^m \Gamma(a_j) dá uma subcobertura finita.