Curvas de Peano

julho 3, 2010

Neste post todo, o intervalo \left[ 0,1\right] será denotado por I . Seja M um espaço métrico. Uma curva de Peano em M é uma aplicação contínua f:I\to M sobrejetiva.

Essas curvas de Peano tem relação (evidente) com o “cálculo” de grupos fundamentais. Em particular, a existência dessas curvas de Peano, por exemplo, está relacionada com a prova de que S^n é simplesmente conexo para n\geq 2 . Isso será explicado em outro post.

Aqui, vou construir de forma direta uma curva de Peano em I^n , n\in\mathbb{N} qualquer (por exemplo, I^2 é o quadrado fechado). Para isso, vou utilizar algumas considerações do post anterior.

Segue, abaixo, mais um lema sobre extensão contínua que será importante para a construção das curvas de Peano.

Lema 1: Seja C\subset I um subconjunto fechado. Se X\subset\mathbb{R}^n é um conjunto convexo, segue que qualquer aplicação contínua f:C\to X possui extensão contínua F:I\to X .

Demonstração: Com efeito, pela estrutura (topológica) da reta, tem-se um resultado conhecido de que todo aberto pode ser escrito como uma reunião enumerável de intervalos abertos disjuntos. Logo I-C é escrito como uma reunião enumerável \displaystyle\bigcup _{k\in L} A_k de intervalos abertos A_k = (a_k,b_k) . Logo define-se F(x) = f(x) , se x\in C . E, para x\in I-C , tem-se que x\in (a_k,b_k) para algum k\in L e, nesse caso, define-se \displaystyle F(x) = \left(\frac{x-b_k}{a_k-b_k}\right)f(a_k)+\left(\frac{a_k-x}{a_k-b_k}\right) f(b_k) . Verificar que F é, de fato, contínua é fácil. Além disso, pode-se notar que F está definida nesses intervalos abertos como sendo o segmento de reta que liga os valores de f nos extremos.

CQD

Antes de construir a curva de Peano, seguem algumas definições e um lema importante para a construção.  Seja \left\{ 0,1\right\} o espaço topológico (metrizável) munido da topologia discreta.

Segue que K=\left\{  0,1\right\} ^\mathbb{N} é um produto de espaços e, munido da topologia produto, é metrizável. Pelo teorema de Tychonoff, segue que K é compacto. E, pelas considerações do post anterior, tem-se que K é homeomorfo a K^n (para qualquer n\in\mathbb{N} ) .

Lema 2: Seja K=\left\{ 0,1\right\} ^\mathbb{N} o produto dos espaços topológicos discretos. Existe uma aplicação contínua sobrejetiva h : K\to I^n .

Demonstração: Define-se uma métrica em K=\left\{ 0,1\right\} ^\mathbb{N} . Dados x,y\in K , define-se \displaystyle d(x,y)=\sum _{i=1}^\infty  \frac{\left| x_i-y_i\right| }{2^i} . E, então, a aplicação \alpha : K\to I tal que \alpha (x) = d(x,0) , denotando-se 0 = (0,\ldots ,0) ,  é evidentemente contínua e sobrejetiva. Logo, dado n\in\mathbb{N} , \alpha\times\cdots\times\alpha = (\alpha )^n : K^n\to I^n é uma aplicação contínua sobrejetiva. Seja, então \beta : K\to K^n um homeomorfismo. Segue, então, que h= (\alpha )^n\circ\beta : K\to I^n é uma aplicação contínua sobrejetiva.

CQD

Teorema de Peano: Para qualquer n\in\mathbb{N} , existe uma aplicação contínua f: I\to I^n sobrejetiva.

Demonstração: Mune-se K=\left\{ 0,1\right\} ^\mathbb{N} da seguinte métrica coerente com a topologia produto d(x,y) = \displaystyle\sum _{i=1}^\infty \frac{\left| x_i - y_i\right|}{10^i} .

Define-se, então, a aplicação contínua \phi : K\to I tal que \phi (x) = d(x,0) . É fácil verficar que \phi é injetiva. Define-se M=f(K) . Tem-se, então, que M é compacto (e, em particular, fechado em I ). Além disso, tem-se que \varphi : K\to M , onde \varphi (x) = \phi (x) , é uma bijeção contínua definida num compacto que toma valores num espaço Hausdorff. Portanto  \varphi é um homeomorfismo e, então, K e M são homeomorfos.

Dado n\in\mathbb{N} , toma-se a aplicação contínua sobrejetiva h: K\to I^n , cuja existência é garantida pelo lema 2. Portanto h\circ (\varphi )^{-1}: M\to I^n é uma aplicação contínua sobrejetiva. Pelo lema 1, segue que existe uma extensão contínua f: I\to I^n (sobrejetiva) de h\circ (\varphi )^{-1} .

CQD

Anúncios

Outro lema sobre extensão

junho 29, 2010

Sejam X um espaço topológico e A\subset X . Diz-se que A é um retrato de X se existe uma aplicação contínua R: X\to A tal que R(x) = x para todo x\in A . Isso, em termos de extensão contínua, pode ser colocado da seguinte forma A\subset X é um retrato de X se a aplicação Id: A\to A possui extensão contínua R: X\to A . A extensão contínua R: X\to A é chamada de retração.

Aqui, vou apresentar um lema sobre extensão que, na verdade, é uma caracterização de retratos de espaços.

Lema 1: Seja X um espaço topológico. Um subespaço A\subset X é retrato de X se, e somente se, toda aplicação f:A\to Y contínua possuir uma extensão contínua F: X\to Y .

Demonstração: Com efeito, se toda aplicação f:A\to Y possui extensão contínua, segue, em particular, que Id :A\to A possui extensão contínua R: X\to A . Logo A é retrato.

Reciprocamente, se A\subset X é um retrato, toma-se a retração R: X\to A . Dada f:A\to Y contínua, segue que F := f\circ R é uma extensão contínua de f .

CQD

Sejam X um espaço topológico e A\subset X . Uma retração R: X\to A é chamada de retração por deformação se ela for, também, uma equivalência homotópica com inverso homotópico sendo a inclusão i:A\to X .

Usando o lema sobre extensão, segue um resultado interessante: todo retrato de um espaço contrátil é contrátil. Afinal, se X é um espaço contrátil e A\subset X é retrato do espaço X , segue que Id: A\to A possui extensão contínua. E, pelo lema sobre extensão , isso implica que Id é homotópica a uma aplicação constante. Portanto A é contrátil.

Outra forma de provar isso, é vendo que, se X é um espaço contrátil, toda retração com domínio em X é uma retração por deformação. Afinal, se R:X\to A é uma retração, tem-se que a inclusão i:A\to X   é homotópica a alguma aplicação constante. Logo R\circ i =Id e i\circ R é homotópico a uma aplicação constante. Como X é contrátil, segue que i\circ R :X\to X , por ser homotópico a uma aplicação constante, é homotópico à aplicação identidade. Isso provou que, de fato, R é uma equivalência homotópica e, portanto, A contrátil.


Lema Sobre Extensão

junho 2, 2010

Aqui, será provado um teorema básico sobre extensão de funções contínuas definidas na esfera, para a bola fechada toda. O teorema mais geral sobre esse tipo de extensão é provado no post sobre Compactos Convexos. Aqui, será apresentado apenas o teorema básico para futuras referências.

Sejam X,Y espaços topológicos e A\subset X . Uma função contínua F: X\to Y é uma extensão contínua da aplicação contínua f: A\to Y , se F|_A = f .

O teorema que será provado diz que uma aplicação f: S^n\to X , onde X é um espaço topológico qualquer, possui uma extensão contínua F: B^{n+1}\to X se, e somente se, f é homotópico a uma aplicação constante. Um dos sentidos do teorema sobre extensão é trivial. Existem duas formas de verificar isso. Evitando a linguagem de categorias (com essa linguagem consegue-se mostrar (de forma direta) uma forma que generaliza (e trivializa) essa condição necessária para haver uma extensão), eu consegui uma demonstração rápida desse fato (que vou enunciar, abaixo, como lema).

Lema 1.: Sejam E um espaço vetorial normado, K\subset E um convexo, A\subset K um subconjunto não vazio e X um espaço topológico. Se f: A\to X é contínua, então uma condição necessária para que f tenha extensão contínua em K é que f seja homotópica a uma aplicação constante.

Demonstração: Se f^*: K\to X é uma extensão contínua, então, tomando a inclusão i: A\to K , segue que f^*\circ  i = f . Mas, como K é convexo (e, em particular, contrátil), tem-se que i é homotópico a uma aplicação constante t:  A\to K . Disso segue que f é homotópico a f^*\circ t (que é constante).

CQD

Abaixo segue o teorema central deste post. Este teorema é utilizado na maioria dos posts sobre topologia. Em particular, o teorema do ponto fixo de Brouwer.

Teorema 2.: Seja X um espaço topológico. Uma aplicação contínua f: S^n\to X possui uma extensão F :  B^{n+1}\to X contínua se, e somente se, f é homotópico a uma aplicação constante.

Demonstração: Com efeito, se f: S^n\to X possui extensão, segue, pelo lema 1, que f é homotópico a uma aplicação constante. Reciprocamente, se f é homotópico a uma constante, segue que existe uma homotopia L: f\cong k , onde k: S^n\to X é uma aplicação constante. Define-se a aplicação sobrejetiva

\varphi : S^n\times\left[ 0,1\right]\to B^{n+1} , onde \varphi (x,t) = (1-t)x . Essa aplicação tem domínio compacto e contra-domínio Hausdorff, logo é fechada (e, portanto, é aplicação quociente). Observe que, dados \varphi (x_1,t_1) =\varphi (x_2,  t_2) , ou (x_1,t_1) = (x_2,t_2) , ou então t_1 = t_2 = 1  . E, portanto, em ambos os casos L(\varphi (x_1,t_1) ) = L(  \varphi (x_2 ,t_2) ) . Portanto, dado y\in B^{n+1} , y possui uma imagem inversa \varphi ^{-1} (y) e, tomando (x,t)\in \varphi ^{-1} (y) qualquer, podemos definir F:  B^{n+1}\to X como sendo F(y) = L(x,t) (pelo observado, segue que isso está bem definido). Note que F\circ \varphi = L .

Como \varphi é aplicação quociente, o fato de F\circ  \varphi = L ser contínua implica que F é contínua. E, para completar, é fácil verficar que F|_{S^n} = f .

CQD


Teorema de Tychonoff e o tal Alexander — parte 2: caso geral

janeiro 29, 2010

Esse post demorou a sair porque minha “quase demonstração” para o teorema de Alexander não funcionou! 😦
Aí eu peguei da Wikipedia. 🙂

Continuando o post anterior, vamos (tentar) obter o caso geral do teorema de Tychonoff. O primeiro passo é definir o que seria a topologia produto para uma coleção (X_\lambda, \tau_\lambda), \lambda \in \Lambda de espaços topológicos. Vamos usar X para representar o conjunto dado pelo produto cartesiano de X_\lambda. E vamos convencionar que \pi_\lambda: X \rightarrow X_\lambda é a projeção natural.

Em um primeiro momento, pode-se argumentar que o mais “natural” seria definir a topologia produto como sendo aquela gerada pela família \prod_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda, A_\lambda \in \tau_\lambda. Certamente que foi isso o que eu pensei da primeira vez que me deparei com o problema. Essa é uma topologia possível, mas no entanto parece não ser tão fácil de descrever suas propriedades em termos das componentes X_\lambda.

Por exemplo, dada uma sequência (ou rede) x_n = (x_{\lambda n})_{\lambda \in \Lambda} \in X, como podemos dizer — baseado nas coordenadas x_{\lambda n} — quando é que x_n é convergente? Analogamente, quando é que uma função f: Y \rightarrow X é contínua nesta topologia?

A facilidade de se fazer essa conexão entre o comportamento do produto e o comportamento de cada coordenada individualmente é a essência da topologia produto.

Definição: A topologia produto é a topologia mais fraca tal que todas as projeções \pi_\lambda são contínuas.

Observações:
1. A topologia produto é portanto gerada pelos conjuntos da forma \pi_\lambda^{-1}(A_\lambda), com A_\lambda \in \tau_\lambda.

2. A topologia produto pode ser caracterizada através de redes: Se x_\gamma = (x_{\lambda \gamma}), então x_\gamma \rightarrow (x_\lambda) se, e somente se, para todo \lambda \in \Lambda, x_{\lambda \gamma} \rightarrow x_\lambda.

3. A topologia produto é, no caso infinito, estritamente mais fraca que a topologia gerada pela família \prod_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda, A_\lambda \in \tau_\lambda.

4. A topologia produto apresentada acima coincide, no caso finito, com a topologia produto definida no post anterior.

A observação 2 não foi demonstrada porque para isso precisaríamos definir com precisão o conceito de redes e elaborar caracterizações de fenômenos topológicos em termos deste novo conceito.

Vamos apresentar um exemplo que pode ajudar a convencer o leitor de que o conceito de topologia produto não é tão artificial quanto parece.

Exemplo 1: (topologia da convergência ponto-a-ponto)
Dado um conjunto X e um espaço topológico Y, seja \mathcal{F} = \{ f: X \rightarrow Y \} a família de todas as aplicações de X para Y. O conjunto \mathcal{F} pode ser identificado com Y^X = \prod_{x \in X} Y, onde f \in \mathcal{F} é representado em Y^X através das coordenadas \pi_x(f) = f(x).

Na topologia produto, dizer que f_\gamma \rightarrow f, é o mesmo que dizer, pela observação 2, que para cada x \in X, f_\gamma(x) \rightarrow f(x). Ou seja, é o mesmo que dizer que f_\gamma converge ponto-a-ponto para f.

Pelo teorema de Tychonoff (que ainda vamos demonstrar), temos que se Y for compacto, então \mathcal{F}, com a topologia produto (convergência de redes ponto-a-ponto) será também compacto.

Usando uma construção análoga para o espaço bi-dual E^{**} de um espaço de Banach E, é demonstrada a compacidade da bola fechada na topologia fraca-*.

Exemplo 2: (continuidade)
Seja Z um espaço topológico. Então uma função f: Z \rightarrow X será contínua se, e somente se, \pi_\lambda \circ f for contínua para todo \lambda \in \Lambda.

A demonstração disso é assim: se lembra que no post anterior foi comentado que dada uma sub-base para a topologia de X, para que f seja contínua, basta que a imagem inversa de cada elemento da sub-base seja aberto? Pois bem… neste caso, a sub-base é dada pelos conjuntos da forma \pi_\lambda^{-1}(A), A \in \tau_\lambda.

Ou seja, f é contínua se, e somente se, para todo \lambda \in \Lambda e A \in \tau_\lambda, (\pi_\lambda \circ f)^{-1}(A) = f^{-1}(\pi_\lambda^{-1}(A)) for aberto. Ou seja, exatamente quando \pi_\lambda \circ f for contínua para todo \lambda \in \Lambda.

O leitor fica convidado (intimado!) a procurar e analisar outras demonstrações desse fato para perceber como a consciência do palpel exercido pela sub-base torna a demonstração mais simples.


Vamos então anunciar o teorema de Alexander e mostrar como ele leva à demonstração do teorema de Tychonoff.

Teorema: (Alexander) Seja (X, \tau) um espaço topológico e \mathcal{C} uma sub-base para \tau. Então, para que X seja compacto é suficiente (e necessário) que toda cobertura de X por elementos de \mathcal{C} possua uma sub-cobertura finita.

Demonstração: (ao final do post).

Teorema: (Tychonoff) Seja (X_\lambda, \tau_\lambda), \lambda \in \Lambda uma coleção de espaços topológicos compactos. Então, X = \prod_{\lambda \in \Lambda} X_\lambda é compacto na topologia produto.

Demonstração:
Pelo teorema de Alexander, basta mostrar que toda cobertura de X da forma B_\gamma = \pi_{\lambda(\gamma)}^{-1}(A_\gamma), \gamma \in \Gamma possui uma sub-cobertura finita. Vamos particionar \Gamma da seguinte maneira: defina \Gamma_\lambda = \{ \gamma \in \Gamma: \lambda(\gamma) = \lambda \}. Para cada \lambda, faça A_\lambda = \bigcup_{\gamma \in \Gamma_\lambda} A_\gamma.

Suponha — para obter uma contradição — que para todo \lambda, a família A_\gamma, \gamma \in \Gamma_\lambda não cobre X_\lambda, ou seja, A_\lambda \neq X_\lambda. Neste caso, para cada \lambda \in \Lambda, existe x_\lambda \in X_\lambda \setminus A_\lambda. Portanto, fazendo x = (x_\lambda), para todo \gamma \in \Gamma, x \not \in \pi_{\lambda(\gamma)}^{-1}(A_\gamma).

Ou seja, \Gamma não daria uma cobertura para X. Portanto, existe \lambda tal que X_\lambda = \bigcup_{\gamma \in \Gamma_\lambda} A_\gamma. Pela compacidade de X_\lambda, sabemos que existe um subconjunto finito \Gamma' \subset \Gamma_\lambda \subset \Gamma tal que X_\lambda = \bigcup_{\gamma \in \Gamma'} A_\gamma. E portanto, X = \pi_\lambda(X_\lambda) = \bigcup_{\gamma \in \Gamma'} \pi_\lambda^{-1}(A_\gamma). Ou seja, \pi_\lambda^{-1}(A_\gamma), \gamma \in \Gamma' é uma sub-cobertura finita.


No teorema acima usamos o axioma da escolha para escolher x_\lambda \not \in A_\lambda. Para a demonstração do teorema de Alexander utilizaremos o lema de Zorn.

Demonstração do Teorema de Alexander:
Suponha que (X, \tau) não seja compacto. Então, pelo lema 1 do post anterior, a coleção \mathcal{F} de todas as coberturas abertas de X por elementos de \beta(\mathcal{C}) sem sub-cobertura finita não é vazia. Lembre-se que \beta(\mathcal{C}) são os conjuntos da forma A_1 \cap \dotsb \cap A_n, com A_j \in \mathcal{C}.

Afirmação 1: A coleção \mathcal{F} possui um elemento maximal \Gamma_m.

Pelo lema de Zorn, basta mostrar que para todo subconjunto não-vazio \mathcal{F}' \subset \mathcal{F} totalmente ordenado, \Gamma = \bigcup_{\Gamma' \in \mathcal{F}'} \Gamma' é um elemento de \mathcal{F}. De fato, \Gamma, por conter uma cobertura de X é também uma cobertura de X. Resta então mostrar que \Gamma não possui sub-cobertura finita. Se A_1, \dotsc, A_n fosse uma subcobertura finita de \Gamma, então existiria \Gamma' \in \mathcal{F}' tal que A_j \in \Gamma' para todo j = 1, \dotsc, n. Ou seja, A_1, \dotsc, A_n seria uma sub-cobertura finita de \Gamma', contrariando a definição de \mathcal{F}'.

O fato de \Gamma_m ser maximal, implica que se A \not \in \Gamma_m for aberto, então \{A\} \cup \Gamma_m possui uma sub-cobertura finita.

Afirmação 2: A família \mathcal{C}_m = \mathcal{C} \cap \Gamma_m não cobre X.

Caso contrário, por hipótese, possuiria uma sub-cobertura finita. Esta, por sua vez, também seria sub-cobertura finita de \Gamma_m.

Pela afirmação 2, existe x \in X que não é coberto por \mathcal{C}_m. Como \Gamma_m cobre X, existe A_x = A_1 \cap \dotsc \cap A_n \in \Gamma_m, com A_j \in \mathcal{C}, tal que x \in A_x.

Afirmação 3: Nenhum dos A_j pertence a \Gamma_m.

Caso contrário, teríamos x \in A_j \in \mathcal{C} \cap \Gamma_m, contrariando a escolha de x.

Pela afirmação 3, para cada j = 1, \dotsc, n, as coberturas \{A_j\} \cup \Gamma_m são estritamente maiores que \Gamma_m e portanto possuem sub-cobertura finita \{A_j\} \cup \Gamma_j, com \Gamma_j \subset \Gamma_m. Assim, X = A_j \cup \bigcup_{A \in \Gamma_j} A.

Fazendo \tilde{\Gamma} = \bigcup_{j=1}^n \Gamma_j, é fácil verificar que X = A_x \cup \bigcup_{A \in \tilde{\Gamma}} A. Ou seja, \{A_x\} \cup \tilde{\Gamma} é uma sub-cobertura finita de \Gamma_m.


Observações:
1. A notação tá muito ruim! 😦

2. A demonstração da afirmação 1 é muito parecida com a demonstração de que todo espaço vetorial possui uma base. Uma base é um conjunto maximal dentre os conjuntos linearmente independentes. Na demonstração da afirmação 1 utilizamos o fato de que a união crescente de famílias que não possuem sub-cobertura finita também não possui sub-cobertura finita. Do mesmo modo, a união crescente de conjuntos linearmente independentes é um conjunto linearmente independente. É interessante observar o papel da palavra finito. Note que um conjunto linearmente independente é aquele que não possui sub-conjuntos finitos linearmente dependentes. Assim como as coberturas de \mathcal{F} são aquelas que não possuem sub-coberturas finitas!!

3. Foi preciso usar que \mathcal{C} é uma sub-base apenas para que A_x fosse uma interseção finita de conjuntos de \mathcal{C}. Assim, \tilde{\Gamma} pôde ser escrito como uma união finita de conjuntos finitos.


Teorema do Gráfico Fechado e Teorema da Aplicação Aberta

janeiro 18, 2010

O gráfico de uma aplicação contínua com contra-domínio de Hausdorff é fechado. A recíproca, em geral, não é válida. Vamos mostrar que no entanto, se estivermos falando sobre uma aplicação linear T: X \rightarrow Y entre espaços de Banach, então se o gráfico de T em X \times Y (com a topologia produto) for fechado, a aplicação será contínua. Alternativamente, se T não for contínua, seu gráfico não será fechado.

Observação: Se T não é contínua, então poderemos exibir uma sequência x_n \rightarrow x tal que Tx_n \not \rightarrow Tx. A parte difícil do teorema do gráfico fechado é encontrar uma sequência x_n convergente, tal que Tx_n também seja convergente, mas que T(\lim x_n) \neq \lim Tx_n. Para isso, vamos precisar do teorema de Baire e da completude de X e Y. As caracterizações de aplicações lineares contínuas ou abertas que foram apresentadas anteriormente simplificam um pouco a demonstração.

Definição: Seja T: X \rightarrow Y uma aplicação entre os conjuntos X e Y. O gráfico de T é o conjunto G(T) = \{ (x, Tx) \in X \times Y: x \in X \}. Se X e Y são espaços topológicos, dizemos que o gráfico de T for fechado quando o conjunto G(T) for um subconjunto fechado de X \times Y equipado com a topologia produto.

Teorema do Gráfico Fechado: Seja T: X \rightarrow Y uma aplicação linear entre espaços de Banach. Então, o gráfico de T é fechado se, e somente se, T for uma aplicação contínua.

Demonstração:
Se T é contínua e (x, y) um ponto de acumulação de seu gráfico, então existe uma sequência (x_n, Tx_n) \rightarrow (x, y). Assim, x_n \rightarrow x e Tx_n \rightarrow y. Pela continuidade de T, temos também que Tx_n \rightarrow Tx. O fato de o contra-domínio Y ser espaço de Hausdorff implica que o limite de Tx_n é único e portanto, Tx = y. Ou seja, (x, y) pertence ao gráfico de T, que é portanto, fechado.

Vamos supor agora que T não seja contínua. Nossa estratégia será exibir uma sequência x_n \rightarrow x tal que Tx_n \not \rightarrow Tx, mas que no entanto, Tx_n seja convergente (ou seja, de Cauchy). Para construir T_x de Cauchy, vamos escrever x_n como uma série x_n = \sum_{j=0}^n y_n tal que:
1. Para n > 0, \|Ty_n\| < \frac{1}{2^n}.
2. \|Ty_0\| < 1.
Em particular, teremos que \limsup Tx_n < 2. Assim, para que Tx_n \not \rightarrow Tx, tomaremos x tal que \| Tx \| \geq 2.

Vamos denotar por B_\varepsilon a bola aberta de raio \varepsilon > 0 tanto em X quanto em Y. Pela caracterização de aplicações lineares contínuas, T^{-1}B_\varepsilon não possui interior para nenhum \varepsilon > 0. Mas pelo teorema de Baire, \overline{T^{-1}B_\varepsilon} tem interior para algum (e por linearidade, para todo) \varepsilon > 0.

Afirmação 1: Existe um \beta > 0, tal que para todo \varepsilon > 0, B_{\beta \varepsilon} \subset \overline{T^{-1}B_\varepsilon}.

Basta mostrar para \varepsilon = 2, pois os demais casos seguem por linearidade de T. Seja v ponto interior de \overline{T^{-1}B_1}. Sabemos que \overline{T^{-1}B_2} = \overline{T^{-1}B_1 - T^{-1}B_1} = \overline{T^{-1}B_1} - \overline{T^{-1}B_1}. Portanto, \overline{T^{-1}B_2} é vizinhança de v - v = 0. Ou seja, existe \beta > 0 tal que B_{2 \beta} \subset \overline{T^{-1}B_2}.

Tome x \in \overline{T^{-1}B_\frac{1}{2}} \setminus T^{-1}B_2. Note que x existe, pois o conjunto da esquerda tem interior e o da direita, não. Note também que \|Tx\| \geq 2. Vamos construir a sequência y_n.

Escolha y_0 \in x + B_\beta. Por simetria, x - y_1 \in B_\frac{\beta}{2}. Escolhido y_n \in B_\frac{\beta}{2^n} tal que x - \sum_{j=0}^n y_j \in B_\frac{\beta}{2^n}, escolha y_{n+1} \in B_\frac{\beta}{2^n} tal que x - \sum_{j=0}^{n+1} y_j \in B_\frac{\beta}{2^{n+1}}. Para ver que isso é possível, basta notar que (x + B_\frac{\beta}{2^{n+1}}) \cap (\sum_{j=0}^{n} y_j + B_\frac{\beta}{2^n}) é não vazio (faça um desenho). É evidente que:
1. x_n = \sum_{j=0}^n y_j \rightarrow x.
2. Pela afirmação 1, Ty_n \in B_\frac{1}{2^n}. Ou seja, Tx_n = \sum_{j=0}^n Ty_n é de Cauchy.
3. \|\lim T x_n\| = \lim \|\sum_{j=0}^n Ty_n\| \leq \\ \leq \sum_{j=0}^\infty \|Ty_n\| < \sum_{j=0}^\infty \frac{1}{2^n} \leq 2.

Portanto, (x, \sum Ty_n) = \lim (x_n, Tx_n) é ponto de acumulação do gráfico de T, mas não pertence ao gráfico, pois \|\lim T x_n\| < 2 \leq \|T x\|. Concluindo a demonstração.


A partir do teorema do gráfico fechado, podemos demonstrar o seguinte teorema, chamado de teorema da aplicação aberta.

Teorema da Aplicação Aberta: Seja T: X \rightarrow Y uma aplicação linear sobrejetiva entre espaços de Banach. Então, T é contínua se, e somente se, é uma aplicação aberta.

Demonstração:
Vamos primeiro assumir que T é bijetiva. Neste caso, T^{-1}: Y \rightarrow X é uma aplicação linear cujo gráfico, que é a transposição do gráfico de T, é fechado! Portanto, T^{-1} é contínua. Ou seja, T é aberta.

O caso geral é feito considerando-se o espaço quociente \tilde{X} = X / \ker T. Não vou detalhar a construção, mas este espaço quociente é um espaço de Banach com norma \|x + \ker T\| = \inf_{n \in \ker T} \|x + n\|, pois, pela continuidade de T, \ker T é fechado. Esta construção pode ser vista no livro Analysis Now de Gert K. Pedersen.

É um fato simples de álgebra, que T pode ser fatorado em T = \tilde{T} \circ \pi, onde \pi: X \rightarrow \tilde{X} é a projeção natural (que é aberta, como toda projeção de quocientes de grupos topológicos) e \tilde{T}: \tilde{X} \rightarrow Y é contínua e bijetiva. Pela primeira parte da demonstração, \tilde{T} é uma aplicação aberta e portanto, T, como uma composição de aplicações abertas, é também aberta.

Observação: De fato, mostramos que o teorema da aplicação aberta é consequencia do seguinte teorema:
Teorema da Inversa Limitada: Seja T: X \rightarrow Y uma aplicação linear bijetiva entre espaços de Banach. Se T é contínua, então é um homeomorfismo.

Como este teorema é um caso particular do teorema da aplicação aberta, temos que os dois são equivalentes. A demonstração acima mostra essa equivalência (a parte não trivial) e o fato de que o teorema da inversa limitada é consequência imediata do teorema do gráfico fechado.

Observação: Parece ser mais comum que se demonstre o teorema da aplicação aberta como consequência do teorema de Baire e o teorema do gráfico fechado como consequência do da aplicação aberta. Escolhi um caminho alternativo e provavelmente mais complicado só pra exercitar. 🙂


Aplicações Lineares em Espaços Normados

janeiro 11, 2010

O objetivo deste artigo é discutir as várias interpretações que caracterizam a condição de uma aplicação linear ser limitada (definição a seguir). Devido ao fato de a métrica induzida por uma norma qualquer ser invariante por translações, temos a continuidade de uma aplicação linear ser equivalente à continuidade em um ponto qualquer. Em geral, tomamos a origem. 😉

Já a propriedade \|\alpha x\| = |\alpha| \|x\| implica na equivalência entre a continuidade na origem e a limitação da aplicação linear. A equivalência entre continuidade, continuidade em um ponto e limitação de uma aplicação linear é bastante conhecida.

Definição: uma aplicação linear T: X \rightarrow Y entre espaços normados é limitada quando T(B_1) for um conjunto limitado em Y. Onde B_\alpha é a bola de raio \alpha. Usamos a mesma notação para bolas em X ou Y.

Proposição 1: Seja T: X \rightarrow Y uma aplicação linear entre espaços normados. São equivalentes:
1. T é contínua.
2. T é contínua em um ponto.
3. T é contínua na origem.

4. T é limitada.
5. A imagem de toda bola é limitada.
6. A imagem de alguma bola é limitada.
7. A imagem de alguma vizinhança da origem é limitada.
8. A imagem de todo conjunto limitado é limitada.

9. A imagem de algum aberto é limitada.

10. A imagem inversa por T de algum conjunto limitado tem interior.
11. O conjunto T^{-1}(B_\alpha) tem interior para algum \alpha > 0.
12. O conjunto T^{-1}(B_\alpha) tem interior para todo \alpha > 0.
13. O conjunto T^{-1}(B_1) tem interior.

Demonstração:
A equivalência entre os quatro primeiros itens já foi comentada nos primeiros parágrafos.

A equivalência entre 4, 5, 6, 7 e 8 segue do fato T(B_\alpha) = \alpha T(B_1)

É fácil ver que 4 implica em 9, basta tomar a imagem de B_1. Por outro lado, se V \subset X é aberto com imagem limitada, então V - V é vizinhança da origem com imagem limitada. Ou seja, 9 implica em 7.

É trivial que 1 implica em 10, e que 10 implica em 11.
Também é fácil ver que 11, 12 e 13 são equivalentes, pois B_\alpha = \alpha B_1.

Para ver que 13 implica em 9, basta tomar A como sendo o interior (não vazio) de T^{-1}(B_1). Então, a imagem do aberto A é limitada!


A essas alturas, quem não se cansou e desistiu de ler todas as equivalências acima está provavelmente criando suas próprias variações. 🙂

Algo que não é exatamente uma variação, mas que funciona da mesma forma, é a caracterização de aplicações abertas. As aplicações lineares abertas são necessariamente sobrejetivas. Assim como na proposição anterior, temos a equivalência:

Proposição 2: Seja T: X \rightarrow Y uma aplicação linear sobrejetiva entre espaços normados. São equivalentes:
1. T é aberta.
2. T é aberta em um ponto. (a imagem de toda vizinhança do ponto é vizinhança da imagem do ponto)
3. T é aberta na origem. (a imagem de toda vizinhança de 0 é vizinhança de 0)

5. A imagem inversa de toda bola é limitada.
6. A imagem inversa de alguma bola é limitada.
7. A imagem inversa de alguma vizinhança da origem é limitada.
8. A imagem inversa de todo conjunto limitada é limitada.

9. A imagem inversa de algum aberto é limitada.

10. A imagem de algum conjunto limitado tem interior.
11. O conjunto T(B_\alpha) tem interior para algum \alpha > 0.
12. O conjunto T(B_\alpha) tem interior para todo \alpha > 0.
13. O conjunto T(B_1) tem interior.


Podemos ir um pouco mais fundo e pensar sobre uma família de aplicações lineares que sejam uniformemente limitadas.

Definição: dada uma aplicação linear T: X \rightarrow Y entre espaços normados limitada, definimos a norma de T, por \|T\| = \sup_{x \in B_1} \|T(x)\|.

Definição: dizemos que uma família T_\lambda: X \rightarrow Y de aplicações lineares é uniformemente limitada se é tal que \sup_\lambda \|T_\lambda\| < M para algum M.

Vejamos algumas caracterizações de limitação uniforme.
Proposição 3: Seja T_\lambda: X \rightarrow Y uma família de aplicações lineares entre espaços normados. São equivalentes:
1. T_\lambda é uniformemente limitada.
2. \bigcap T_\lambda^{-1}(B_1) é vizinhança da origem.
3. Para algum \alpha > 0, \bigcap T_\lambda^{-1}(B_\alpha) é vizinhança da origem.

4. Para algum \alpha > 0, \bigcap T_\lambda^{-1}(B_\alpha) tem interior.
5. Para todo \alpha > 0, \bigcap T_\lambda^{-1}(B_\alpha) tem interior.
6. O conjunto \bigcap T_\lambda^{-1}(B_1) tem interior.

7. Para algum conjunto limitado B, \bigcap T_\lambda^{-1}(B) tem interior.
8. Para algum \alpha > 0, \bigcap T_\lambda^{-1}(\overline{B_\alpha}) tem interior.

Demonstração:
A equivalência entre 1, 2 e 3 é exatamente como nas proposições anteriores. A equivalência entre 4, 5, 6, 7 e 8 também é imediata. E é óbvio que 2 implica em 6.

Suponha 6. Então, \bigcap T_\lambda^{-1}(B_2) = \bigcap T_\lambda^{-1}(B_1 - B_1) = \bigcap (T_\lambda^{-1}(B_1) - T_\lambda^{-1}(B_1)) é vizinhança da origem. Ou seja, 6 implica em 3.


As caracterizações apresentadas acima são utilizadas em teoremas como o teorema da aplicação aberta e o princípio da limitação uniforme, mas em geral ficam ocultas dentro da demonstração.


F: Quadrado no Toro

outubro 23, 2009

“Um post facinho, pra relaxar.” (como diz o André)

Vou fazer alguns posts para testar aquilo (que falei) em relação aos códigos.

Ah! Eu não sei se está tudo certo!! =) =) =) 🙂 🙂 🙂
Foi uma tentativa de formalizar uma coisa que um autor joga “intuitivamente” no livro. Eu apenas tentei esboçar (rapidamente) a idéia que tive.

Bom, o objetivo desse post é provar que existe uma função contínua \phi sobrejetiva que leva o quadrado no toro e ainda tem certas propriedades específcas (eu encontrei esse fato num livro de topologia (para provar outra coisa), mas foi bem jogado).

A intuição é “identificar os lados opostos de um quadrado sem os torcer.”

Note, por exemplo, que o “bordo” do quadrado nesse procedimento é associado a duas circunferências (que tem um ponto em comum).

Vou provar, então, que existe essa função contínua sobrejetiva.
Para isso, eu tomo S^1 - \left\{ 1 \right\} com a métrica induzida dos complexos (usual dos complexos) e (0,2\pi ) com a métrica induzida da reta (usual da reta) e, então, tomo a aplicação f : (0, 2\pi )\to S^1-\left\{1\right\} , f ( \alpha ) = e^{ \alpha i }   que é evidentemente um homeomorfismo. ( S^1\subset \mathbb{C} )
Provemos que se trata de um homeomorfismo uniformemente contínuo.
Denota-se por \left\|\cdot \right\| a norma (usual) em \mathbb{C} .
Com efeito,
Dado \epsilon > 0, a função \sqrt { 2x } (x real ) é contínua em 0 . Logo existe a > 0 tal que
\left| x \right| < a \Longrightarrow \left| \sqrt {2x} \right| < \epsilon

A função consseno (função real) é contínua no 0 , logo existe \delta > 0 tal que
\left| x\right| < \delta \Longrightarrow \left|cos (x) - 1\right| < a .
Logo, se tomarmos \left| \alpha - \beta \right| < \delta em (0,1) , segue que
\left\| e^{ \alpha i } - e^{ \beta i } \right\| =
= \sqrt { \left( cos( \alpha ) -cos ( \beta )\right)^2 + \left( sen( \alpha ) -sen ( \beta )\right)^2} =
= \sqrt { 2(1 - cos ( \alpha - \beta )) }
e, como (1 - cos ( \alpha - \beta )) = \left|(1 - cos ( \alpha - \beta ))\right|< a , segue que

\sqrt { 2(1 - cos ( \alpha - \beta )) }<\epsilon .

Isso completa a prova de que  f  se trata, na verdade, de um homeomorfismo uniformemente contínuo.

Próxima etapa:

Teorema
Sejam X\subset M e Y\subset N subconjuntos densos dos espaços métricos completos M e N . Se f: X\to Y é um homeomorfismo uniformemente contínuo, segue que existe uma única extensão de f (uniformemente) contínua F : M\to N (e ela é sobrejetora).

Mas, então, segue disso que existe uma extensão F : [0, 2\pi ]\to S^1 contínua sobrejetora. E usando seqüências, ou limite, ou qualquer outra coisa do tipo, dá para mostrar que F(0)=F(2\pi )= 1 .

Agora, basta tomar \phi : [0,2\pi ]\times [0, 2\pi ] \to S^1\times S^1 , onde \phi (x,y) = (F(x) , F(y) ) . \phi = (F\times F ) , logo é contínua =).

Ah! Outra coisa que ele fala no texto é que o bordo do quadrado leva à reunião de duas circunferências que tem um ponto em comum (uma que abre o toro verticalmente e outra que “rasga” o toro “horizontalmente” ). Note que dá para mostrar isso usando o argumento exposto.
Afinal o bordo do quadrado é, na verdade, a reunião
\left(\left\{0\right\}\times [0, 2\pi ]\right) \cup
\cup \left(\left\{2\pi\right\}\times [0, 2\pi ]\right)
\cup \left([0, 2\pi ]\times \left\{0\right\}\right)
\cup \left([0, 2\pi ]\times \left\{ 2\pi\right\}\right) ,

e a imagem disso é

\left(\left\{1 \right\}\times S^1 \right)\cup \left( S^1 \times \left\{1\right\} \right)

Ou seja, justamente a reunião das tais circunferências.