Conjunto de Cantor

julho 4, 2010

Neste post, vou fazer uma exposição breve sobre o conjunto de Cantor (sob uma perspectiva que eu adotei). Este post usará as considerações do post. Aqui, vou definir o espaço/conjunto de Cantor como sendo o prodtuo de espaços topológicos discretos K = \left\{ 0,2\right\} ^\mathbb{N} .

Tem-se, pelo teorema de Tychonoff, que K é compacto. Além disso, pelas considerações do post, segue que K é homeomorfo a K^n (qualquer que seja o n\in\mathbb{N} ) e, também, é homemorfo a K ^\mathbb{N} .

O conjunto de Cantor é originalmente construído na reta. Aqui, vou definir conjunto de Cantor na reta como sendo qualquer imersão topológica do espaço K na reta. Ou seja, se f:K\to\mathbb{R} é um homeomorfismo sobre sua imagem, f(K) será chamado de um conjunto de Cantor.

Uma observação óbvia é que, por K ser compacto, tem-se que toda injeção contínua f:K\to\mathbb{R} é uma imersão topológica (pois f: K\to f(K) seria uma bijeção contínua de um compacto num Hausdorff (portanto um homeomorfismo)).

Seguindo essa definição de conjunto de Cantor na reta, um exemplo de conjunto de Cantor na reta é construído no post sobre curvas de Peano.

Teorema 1: Seja K=\left\{ 0,2\right\} ^\mathbb{N} o espaço/conjunto de Cantor. Tem-se que K é compacto, totalmente desconexo, não possui pontos isolados e é não-enumerável.

Demonstração: Pelo teorema de Tychonoff, como \left\{ 0,2\right\} é evidentemente compacto, segue que o produto K = \left\{ 0,2\right\} ^\mathbb{N} é compacto.

Além disso, é fácil verificar que K é não-enumerável: com, por exemplo, argumento da diagonal de Cantor. Mas, para fazer uma verificação rápida desse fato, é fácil construir uma bijeção de K com o conjunto das partes de \mathbb{N} (de fato, a cada subconjunto de N , associa-se a sua “função característica”). Como o conjunto das partes de \mathbb{N} não é enumerável, segue que K não é enumerável.

Pela própria definição da topologia produto, não há como K possui pontos isolados. De fato, todo aberto de K deve ter uma projeção em \left\{ 0,2\right\} cuja imagem é o espaço \left\{ 0,2\right\} todo (pela definição da topologia produto). Logo, dados (x_1 , \ldots , x_n , \ldots )\in K e uma vizinhança aberta U\subset K desse ponto, segue que existe k\in\mathbb{N} tal que p_k (U) = \left\{ 0,2\right\} . Mas isso quer implica que (x_1, \ldots , x_k' , \ldots )\in U , onde x_k' \neq x_k . Isso, então, provou que todos pontos de K são não isolados.

Para encerrar a demonstração, prova-se que K é totalmente desconexo (ou seja, as componentes conexas de K são unitárias). Com efeito, dada uma componente conexa C\subset K , segue que as imagens de C pelas projeções devem ser conexas. Mas as únicas componentes conexas de \left\{ 0,2\right\} são os pontos. Então, para todo j\in\mathbb{N} , p_j (C) é unitário. E, portanto, C é unitário. E isso, então, completa a prova de que K é totalmente desconexo.

CQD

Seguem as propriedades conhecidas do conjunto de Cantor na Reta. Abaixo, estão enunciadas e provadas.

Corolário 1.1: Seja C\subset\mathbb{R} um conjunto de Cantor. Segue que C é compacto, tem interior vazio, não contém pontos isolados e é não-enumerável.

Demonstração: Com efeito, pela definição, tem-se que C é homemorfo a K = \left\{ 0,2\right\} ^\mathbb{N} . Logo, pelo teorema 1, tem-se que C é compacto (portanto limitado e fechado), é não enumerável e não contém pontos isolados.

Além disso, tem-se que C é totalmente desconexo. Em particular, todos subconjuntos conexos de C são unitários. Disse segue que C não contém intervalos e, portanto, possui interior vazio.

CQD

Aqui, o post ficaria completo. Foram definidos os conjuntos de Cantor. Além disso, este último corolário mostrou que os conjuntos de Cantor na reta possuem as propriedades interessantes esperadas do conjunto de Cantor. Mas, antes de encerrar o post, será provado que o conjunto de Cantor usual (como, por exemplo, é definido nos livros livros de análise) é um conjunto de Cantor segundo a definição deste post.

Não vou colocar, aqui, a definição usual. Muito menos discutí-la em detalhes. Acho que tem lugares onde isso pode ser encontrado (como wikipedia ). Denotemos por A o esse conjunto de Cantor usual. Uma das observações interessantes de se fazer é que o conjunto A é construído de tal forma que seus números na base 3 sejam escritos com os algarismos 0 e 2 somente. Na primeira etapa, tira-se o conjunto dos números, onde 0, x_1x_2\ldots na base 3 tem x_1 = 1 . Na etapa 2 , tiram-se os números 0, x_1x_2x_3x_4\ldots onde x_2=1 na base 3 .

No final da construção, o conjunto A fica sendo o conjunto dos pontos 0,x_1x_2x_3x_4\ldots tais que podem ser escritos na base 3 apenas com os algarismos 0 e 2 .

Define-se no conjunto de Cantor K a métrica \displaystyle d(x,y) =\sum _{i=1}^\infty \frac{\left| x_i -y_i\right| }{3^i} . E, então, define-se a aplicação \alpha : K\to A , onde \alpha (x) = d(x,0) .  Pelas considerações acima, segue que isso está bem definido e é uma sobrejeção. Além disso, \alpha é contínua e é fácil verificar que \alpha é injetiva. Portanto \alpha é uma bijeção contínua.

Como K é compacto e A é Hausdorff, segue que \alpha é um homeomorfismo. Portanto, de fato, A é um conjunto de Cantor.

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Curvas de Peano

julho 3, 2010

Neste post todo, o intervalo \left[ 0,1\right] será denotado por I . Seja M um espaço métrico. Uma curva de Peano em M é uma aplicação contínua f:I\to M sobrejetiva.

Essas curvas de Peano tem relação (evidente) com o “cálculo” de grupos fundamentais. Em particular, a existência dessas curvas de Peano, por exemplo, está relacionada com a prova de que S^n é simplesmente conexo para n\geq 2 . Isso será explicado em outro post.

Aqui, vou construir de forma direta uma curva de Peano em I^n , n\in\mathbb{N} qualquer (por exemplo, I^2 é o quadrado fechado). Para isso, vou utilizar algumas considerações do post anterior.

Segue, abaixo, mais um lema sobre extensão contínua que será importante para a construção das curvas de Peano.

Lema 1: Seja C\subset I um subconjunto fechado. Se X\subset\mathbb{R}^n é um conjunto convexo, segue que qualquer aplicação contínua f:C\to X possui extensão contínua F:I\to X .

Demonstração: Com efeito, pela estrutura (topológica) da reta, tem-se um resultado conhecido de que todo aberto pode ser escrito como uma reunião enumerável de intervalos abertos disjuntos. Logo I-C é escrito como uma reunião enumerável \displaystyle\bigcup _{k\in L} A_k de intervalos abertos A_k = (a_k,b_k) . Logo define-se F(x) = f(x) , se x\in C . E, para x\in I-C , tem-se que x\in (a_k,b_k) para algum k\in L e, nesse caso, define-se \displaystyle F(x) = \left(\frac{x-b_k}{a_k-b_k}\right)f(a_k)+\left(\frac{a_k-x}{a_k-b_k}\right) f(b_k) . Verificar que F é, de fato, contínua é fácil. Além disso, pode-se notar que F está definida nesses intervalos abertos como sendo o segmento de reta que liga os valores de f nos extremos.

CQD

Antes de construir a curva de Peano, seguem algumas definições e um lema importante para a construção.  Seja \left\{ 0,1\right\} o espaço topológico (metrizável) munido da topologia discreta.

Segue que K=\left\{  0,1\right\} ^\mathbb{N} é um produto de espaços e, munido da topologia produto, é metrizável. Pelo teorema de Tychonoff, segue que K é compacto. E, pelas considerações do post anterior, tem-se que K é homeomorfo a K^n (para qualquer n\in\mathbb{N} ) .

Lema 2: Seja K=\left\{ 0,1\right\} ^\mathbb{N} o produto dos espaços topológicos discretos. Existe uma aplicação contínua sobrejetiva h : K\to I^n .

Demonstração: Define-se uma métrica em K=\left\{ 0,1\right\} ^\mathbb{N} . Dados x,y\in K , define-se \displaystyle d(x,y)=\sum _{i=1}^\infty  \frac{\left| x_i-y_i\right| }{2^i} . E, então, a aplicação \alpha : K\to I tal que \alpha (x) = d(x,0) , denotando-se 0 = (0,\ldots ,0) ,  é evidentemente contínua e sobrejetiva. Logo, dado n\in\mathbb{N} , \alpha\times\cdots\times\alpha = (\alpha )^n : K^n\to I^n é uma aplicação contínua sobrejetiva. Seja, então \beta : K\to K^n um homeomorfismo. Segue, então, que h= (\alpha )^n\circ\beta : K\to I^n é uma aplicação contínua sobrejetiva.

CQD

Teorema de Peano: Para qualquer n\in\mathbb{N} , existe uma aplicação contínua f: I\to I^n sobrejetiva.

Demonstração: Mune-se K=\left\{ 0,1\right\} ^\mathbb{N} da seguinte métrica coerente com a topologia produto d(x,y) = \displaystyle\sum _{i=1}^\infty \frac{\left| x_i - y_i\right|}{10^i} .

Define-se, então, a aplicação contínua \phi : K\to I tal que \phi (x) = d(x,0) . É fácil verficar que \phi é injetiva. Define-se M=f(K) . Tem-se, então, que M é compacto (e, em particular, fechado em I ). Além disso, tem-se que \varphi : K\to M , onde \varphi (x) = \phi (x) , é uma bijeção contínua definida num compacto que toma valores num espaço Hausdorff. Portanto  \varphi é um homeomorfismo e, então, K e M são homeomorfos.

Dado n\in\mathbb{N} , toma-se a aplicação contínua sobrejetiva h: K\to I^n , cuja existência é garantida pelo lema 2. Portanto h\circ (\varphi )^{-1}: M\to I^n é uma aplicação contínua sobrejetiva. Pelo lema 1, segue que existe uma extensão contínua f: I\to I^n (sobrejetiva) de h\circ (\varphi )^{-1} .

CQD


Normas Equivalentes

março 23, 2010

Novamente, um post sobre um teorema já exposto. No entanto, vou expor aqui uma forma interessante de se provar a equivalência das normas em um espaço vetorial de dimensão fiinita.

Duas normas num espaço vetorial E são chamadas de equivalentes quando as métricas provenientes dessas normas são equivalentes.

Teorema 1: Sejam E,F espaços vetoriais normados. As seguintes afirmações a respeito de uma aplicação linear T:E\to  F são equivalentes:

1) T é uniformemente contínua;

2) T é contínua;

3) T é contínua no ponto 0\in E ;

4) T é Lipschitz.


Demonstração: Com efeito, tem-se que as implicações (1)\Longrightarrow (2) , (2)\Longrightarrow (3) e (4)\Longrightarrow (1) são óbvias.  Provemos a implicação (3)\Longrightarrow (4) .

Com efeito, tem-se, pela hipótese, que existe  \delta >0 tal que

\left| v \right| \leq \delta \Longrightarrow \left\| T(v)  \right\| <1 .

Dado u\in\left\{ x\in E : \left| x\right| = 1 \right\} , tem-se que \left| \delta u \right| = \delta e, então,

\delta \left\| T(u)\right\| = \left\| T( \delta u) \right\|  < 1 , donde segue que

\left\| T(u)\right\| <\frac{ 1 }{ \delta } . Isso provou que \left\{ \left\| Tx\right\| \in F:\left| x\right| =1\right\} é limitado. Denotamos L=sup\left\{ \left\| Tx\right\| \in  F:\left| x\right| =1\right\} .

Dados x,y\in E , segue que \displaystyle \left\| T  \left( \frac{x-y}{ \left| x-y\right| } \right) \right\|\leq L e, portanto,

\displaystyle \frac{1}{ \left| x-y\right| } \left\| T\left(  x-y\right) \right\| \leq L , ou seja, \left\| Tx - Ty\right\|  \leq L\left| x-y\right| .


Corolário 1.1: Sejam \left\| \cdot \right\| _1 e \left\| \cdot \right\| _2 duas normas num espaço vetorial E . Se tais normas são equivalentes, segue que as métricas provenientes dessas normas são uniformemente equivalentes. E, mais precisamente, existem \alpha, \beta > 0 tais que

\alpha \left\| u \right\| _1 \leq \left\| u \right\| _2  \leq \beta \left\| u \right\| _1 para todo u\in E .


Demonstração: Com efeito, se tais normas são equivalentes, segue que

id: (E, \left\| \cdot \right\| _1 ) \to (E, \left\| \cdot  \right\| _2 ) é um homeomorfismo. Pelo teorema precedente, id e sua inversa são lipschitzianas (em particular, id é um homeomorfismo uniforme). Isso implica que existem \alpha , \beta  > 0 tais que

\alpha \left\| x-y \right\| _1 \leq \left\| x-y \right\| _2  \leq  \beta \left\| x-y \right\| _1 para quaisquer x,y\in E .

Em particular,

\alpha \left\| x \right\| _1 \leq \left\| x \right\| _2 \leq    \beta \left\| x \right\| _1 para qualquer x\in E (bastava tomar y=0 ).



Corolário 1.3: Seja E um espaço vetorial normado. Ao trocar a norma de E por uma equivalente, seqüências convergentes são transformadas em seqüências convergentes, e seqüências de Cauchy são transformadas em seqüências de Cauchy. Em particular, se E é completo em relação a uma norma, ele será completo em relação a qualquer norma equivalente.


Demonstração: É consequência imediata do fato de métricas provenientes de normas equivalentes serem uniformemente equivalentes.



Teorema 2: Sejam E um espaço vetorial normado e \mathbb{R}^n munido da norma do máximo (ou uma equivalente). Toda aplicação linear T: \mathbb{R} ^n \to E é contínua.


Demonstração: Com efeito, tem-se que, dado u\in\mathbb{R}^n ,

\displaystyle \left\| T(u)\right\|\leq \sum_{i=1}^n   \left|u_i\right| \left\| T(e_i)\right\|\leq \left| u \right|   \sum_{i=1}^n \left\| T(e_i)\right\| ,

onde \left\{ e_1, \ldots , e_n \right\} \subset \mathbb{R}^n é a base canônica, e onde \left| u \right| é a norma (do máximo) de u em \mathbb{R}^n . Fazendo \displaystyle L= \sum_{i=1}^n \left\| T(e_i) \right\| , segue que

\displaystyle \left\| T(u)\right\|\leq L\left| u \right| .

Isso provou que \displaystyle \left\| T(v)\right\|\leq L\left|   v \right| para todo v\in\mathbb{R}^n . Portanto, isso completa a prova de que T é contínua, afinal, dados x,y\in\mathbb{R}^n , tem-se, pelo provado que

\displaystyle \left\| Tx-Ty\right\| =\left\|   T(x-y)\right\|\leq L\left| x-y \right| .



Teorema 3: Quando \mathbb{R}^n está munido de alguma norma equivalente à norma do máximo, K\subset\mathbb{R}^n é compacto se, e somente se, é limitado e fechado em \mathbb{R} ^n .


Demonstração: Se K\subset \mathbb{R}^n é fechado e limitado, dada uma seqüência em K , segue, pelo teorema de Bolzano-Weierstrass (provado no outro post), que existe uma subseqüência convergente em \mathbb{R}^n . Como K é fechado, segue que essa subseqüência converge em K . Isso completou a prova de que K é compacto.

Reciprocamente, se K é compacto, segue que K é totalmente limitado (em particular, limitado) e fechado.



Leminha: Se \mathbb{R}^m está munido de uma norma equivalente à norma do máximo, segue que

\left\{ x:\left| x\right| =1 \right\} = S^{m-1}\subset\mathbb{R}^m é compacto.


Demonstração: Com efeito, basta provar que S^{m-1} é fechado (afinal, S^{m-1} é obviamente limitado). Note que, dado uma seqüência convergente x_n\to L tem-se que \left| x_n\right| \to \left| L\right| . Logo se (u_n) é uma seqüência convergente de vetores em S^{m-1} , como \left| u_n\right|\to 1 , segue que a norma do limite é 1 . E, portanto, o limite está em S^{m-1} .


Teorema 4: Seja E um espaço vetorial normado de dimensão finita m . Segue que existe um homeomorfismo linear H: \mathbb{R}^m\to E .


Demonstração: Com efeito, dada uma base \left\{u_1, \ldots ,u_m\right\} , define-se H: \mathbb{R} ^m \to E , \displaystyle H(x) = \sum_{i=1}^n x_i u_i .

H é linear. Portanto, pelo teorema 2, é contínua. Além disso, H é obviamente bijetiva. Como S^{m-1}\subset\mathbb{R}^m é compacto, segue que

f: S^{m-1}\to\mathbb{R} , f(u)=\left\| H(u)\right\| ,

assume máximo e mínimo (por ser contínua). Como H é bijetiva (em particular, injetiva), segue que H(x)\neq 0 para todo x\in S^{m-1} . Portanto, o mínimo de f é um número r> 0 .

Tem-se, então, que, dado y\in\mathbb{R}^m ,

\displaystyle \left\| H\left( \frac{y}{ \left| y\right| }\right) \right\| = \frac{1}{\left| y \right| } \left\| H(y)\right\| \geq r . Disso segue que

\left\| H(y)\right\| \geq r \left| y \right| .

Isso provou a continuidade da inversa.



Corolário 4.1: Sejam E e F espaços vetoriais normados de dimensão finita. Toda aplicação linear T: E\to F é contínua.


Demonstração: Com efeito, pelo teorema 4, existe um homeomorfismo linear H:\mathbb{R}^m\to E (onde m é a dimensão de E ).

Tem-se que (T\circ H) : \mathbb{R}^m\to F é uma aplicação linear. Logo, pelo teorema 2, é contínua. Como H é um homemorfismo, segue que

T= (T\circ H)\circ H^{-1} é composição de aplicações contínuas e, portanto, contínua.



Corolário 4.2: Todas normas em espaço vetorial de dimensão finita são equivalentes.


Demonstração: Com efeito, seja E um espaço vetorial de dimensão finita. Dadas duas normas \left\| \cdot \right\| _1 , \left\| \cdot \right\| _2 em E , segue que

id: (E, \left\| \cdot \right\| _1 ) \to (E, \left\| \cdot \right\| _2 )

e sua inversa são aplicações lineares. Portanto, pelo corolário acima, elas são contínuas e, então, as normas são equivalentes.



Observação: Da equivalência das normas em espaços vetoriais de dimensão finita, segue que, para qualquer espaço vetorial normado E de dimensão finita, valem:

1) K\subset E é compacto se, e somente se, K é limitado e fechado em E .

2) Vale o teorema de Bolzano-Weierstrass em E . Ou seja, toda seqüência limitada em E possui subseqüência convergente em E .

Teorema 5: Todo espaço vetorial normado de dimensão finita é completo.


Demonstração: Seja E um espaço vetorial normado de dimensão finita. Segue, pelo provado, que toda seqüência limitada possui subseqüência convergente. Logo, dada uma seqüência de Cauchy (u_n) em E , segue que ela é limitada. Portanto ela possui subseqüência convergente. Mas é fácil de verificar que, se uma seqüência de Cauchy possui uma subseqüência convergente, ela converge: portanto (u_n) converge.



Ponto Fixo de Banach: espaços compactos

março 5, 2010

Além do teorema de ponto fixo de Banach apresentado no post anterior, existe uma “outra versão” do teorema do ponto fixo de Banach: esse eu chamo de Banach para compactos. As diferenças são:

1) Não é exigido, na hipótese, que a função seja um contração: é exigido uma condição mais fraca;

2) Exige-se que o espaço seja compacto.

Teorema 1: Sejam K um espaço métrico compacto e f: K\to K um aplicação que satisfaz d(f(x),f(y)) < d(x,y) para todo par de pontos distintos x,y\in K . Segue que f possui um único ponto fixo.

Demonstração: Com efeito, seja h: K\to\mathbb{R} , h(x) = d(f(x),x) . Como f é contínua, segue que h é contínua (por ser composição de aplicações contínuas). Logom como h está definida num compacto, segue que possui um máximo e um mínimo.

Seja x_0\in K o ponto em que h assume seu mínimo.  Se, por absurdo, f(x_0)\neq x_0 , segue que

0< d(x_0,f(x_0))=h(x_0)\leq h(f(x_0) ) = d(f(x_0), f^2 (x_0))

Isso implica f(x_0)\neq f^2 (x_0 ) e, portanto, pela hipótese, tem-se

d(f^2(x_0),f(x_0))<d(f(x_0),x_0) . Absurdo.

Logo deve-se ter que f(x_0) =x_0 .

Para provar a unicidade, supõe-se que x_0, y_0\in K são tais que f(y_0)=y_0 e f(x_0) = x_0 . Logo d(f(x_0),f(y_0)) = d(x_0. y_0) . Pela hipótese, segue que x_0=y_0 .

CQD


Ponto Fixo de Banach

fevereiro 28, 2010

Um dos meus grandes interesses é em teoremas sobre pontos fixos. Parte do interesse nisso vem da grande aplicabilidade dos resultados. Um dos teoremas mais elementares sobre ponto fixo é o teorema de Banach. Será feito uma breve exposição desse teorema e de algumas de suas importantes aplicações: como o teorema da função inversa e um teorema de existência e unicidade de soluções para sistemas de EDO’s.

Seja M um espaço métrico. Uma contração é uma aplicação f:M\to M Lipschitziana, com constante  de Lipschitz no intervalo \left[ 0,1\right) . Ou seja, existe c\in \left[ 0 ,1\right) tal que

d(f(x),f(y) )\leq c\cdot d(x,y) .

Teorema 1 (Teorema do Ponto fixo de Banach): Seja \displaystyle M um espaço métrico completo. Toda contração \displaystyle f: M\to M possui um único ponto fixo (e ele é atrator).

Demonstração: Com efeito, seja \displaystyle M completo. Se \displaystyle f: M\to M é uma contração, toma-se \displaystyle \displaystyle x\in M e define-se \displaystyle \displaystyle y_n = f^n(x) .

Tem-se que \displaystyle d(y_1 , y_2) = d(f(x),f^2(x))\leq c\cdot d(x,f(x)) , onde \displaystyle c\in \left[0,1\right) .

Prova-se, então, por indução que \displaystyle \displaystyle d(y_n,y_{n+1} ) \leq c^n\cdot d(x, f(x)) .

Supondo por indução que \displaystyle d(y_n,y_{n+1} ) \leq c^n\cdot d(x, f(x)) , segue que

\displaystyle d(y_{n+1},y_{n+2} ) \leq c\cdot d(y_n,y_{n+1} ) \leq c^{n+1}\cdot d(x, f(x)) . Isso completa a prova por indução.

Portanto, dados \displaystyle n,p\in\mathbb{N} , tem-se que

\displaystyle d(y_n , y_{n+p} )\leq \sum_{i=1}^p d(y_{n+i-1}, y_{n+i})\leq \sum_{i=1}^p c^{n+i-1}\cdot d(x,f(x) )

\leq c^n\cdot d(x,f(x)) \sum_{i=1}^p c^{i-1}\leq c^n d(x,f(x)) \sum_{i=1}^p c^{i-1} .

Como \displaystyle \sum c^i é monótona crescente e, por \displaystyle c\in \left[ 0, 1 \right) , também é convergente, tem-se que \displaystyle \sum_{i=1}^p c^{i-1} é menor ou igual ao seu limite \displaystyle \frac{1}{1-c} . Portanto

\displaystyle d(y_n , y_{n+p} )\leq c^n d(x,f(x)) \sum_{i=1}^p c^{i-1} \displaystyle \leq d(x,f(x))\cdot \frac{c^n}{1-c} .

Como \displaystyle lim c^n =0 , segue que, dado \displaystyle \varepsilon > 0 , consegue-se tomar \displaystyle n_0\in\mathbb{N} tal que \displaystyle n> n_0 e \displaystyle p\in \mathbb{N}   implique

\displaystyle d(y_n , y_{n+p} )\leq c^n d(x,f(x)) \sum_{i=1}^p c^{i-1}\leq d(x,f(x))\cdot \frac{c^n}{1-c}\leq \varepsilon .

Ou seja, provamos que \displaystyle (y_n) é de Cauchy. Por \displaystyle M ser completo, isso implica que \displaystyle (y_n) converge.

Note que \displaystyle (f(y_n)) =(y_{n+1}) . Tem-se que \displaystyle lim f(y_n) = lim (y_n) .  Mas, por outro lado, por \displaystyle f ser contínua, tem-se que

\displaystyle lim f(y_n)=f(lim (y_n) ) . Portanto, pelo teorema da unicidade de limites (por M ser um espaço métrico), segue que  \displaystyle lim (y_n) = f(y_n)=f(lim (y_n) ) , id est, \displaystyle lim (y_n) é ponto fixo.

Isso provou a existência. Resta provar a unicidade. Basta ver que, se \displaystyle z,w\in M são pontos fixos distintos, tem-se que \displaystyle d(f(z),f(w))\leq c d(z,w) , ou seja, em particular, por \displaystyle c\in \left[0,1\right) ,

\displaystyle d(f(z),f(w)) < d(z,w) . Absurdo. Logo deveríamos ter \displaystyle z= w .

CQD


Leminha: Seja \displaystyle f: M\to M uma contração com constante de contração c . Se

\displaystyle r\geq\frac{d(a,f(a))}{1-c} , então a bola fechada \displaystyle B_a =B\left[ a; r\right] é invariante por f . Em particular, se M é completo, o ponto fixo de f está em B_a .

Demonstração: Com efeito, se \displaystyle f: M\to M é uma aplicação com constante de contração c . Dado a\in M , toma-se \displaystyle B_a =B\left[ a; r\right] . Dado x\in B_a , segue que

\displaystyle d(f(x), a)\leq d(f(a),a)+d(f(a),f(x))\leq d(f(a),a)+c\cdot d(a,x)

\displaystyle\leq d(f(a),a)+c\cdot\frac{d(a,f(a))}{1-c} = \frac{d(a,f(a))}{1-c} .

Isso provou que f(B)\subset B .

Em particular, se M é completo, tem-se que, pelo teorema de Banach, que f possui um único ponto fixo g\in M e, além disso, ele é atrator. Dado x\in B_a , toma-se a seqüência y_n = f^n(x) tem-se que (y_n) converge para esse ponto fixo g . Como B_a é fechado, segue que g\in B_a .

CQD


Lema 2 (Perturbação da identidade 1): Sejam E um espaço de Banach e \phi : E\to E uma contração. Segue que a aplicação f: E\to E , onde f(x)=x+\phi (x) , é um homeomorfismo.

Demonstração: Com efeito, primeiramente prova-se a sobrejetividade. Dado z\in E , segue que g: E\to E , g(x)=z-\phi (x) , é uma contração. Pelo teorema de Banach g possui um único ponto fixo. Ou seja, existe um único x_z\in E tal que x_z = z-\phi (x_z) , e isso quer dizer que existe um único x_z\in E tal que

f(x_z)=z=x_z+ \phi (x_z) .

Isso provou a sobrejetividade e injetividade de f .

Tem-se que, dados f(x), f(y)\in E ,

\left| f(x)-f(y)\right| \geq \left|x-y\right| - \left| \phi (x) - \phi (y)\right|

\geq \left| x-y\right| - c\left| x-y\right| = (1-c)\left| x-y\right| .

Isso prova a continuidade da inversa.

CQD


Lema 3 (Perturbação da identidade 2): Sejam E um espaço de Banach, U\subset E um aberto e \phi : U\to E uma contração. Segue que a aplicação f: U\to E , onde f(x)=x+\phi (x) , é um homeomorfismo sobre um aberto V\subset E .

Demonstração: Seja c uma constante de contração. Tem-se que, dados f(x), f(y)\in f(U) ,

\left| f(x)-f(y)\right| \geq \left|x-y\right| - \left| \phi (x) - \phi (y)\right|

\geq \left| x-y\right| - c\left| x-y\right| = (1-c)\left| x-y\right| .

Isso provou a injetividade e a continuidade da inversa. Ou seja, procou que f é um homeomorfismo sobre f(U) . Resta provar que f(U) é aberto em E .

Dado f(a)\in f(U) , segue que existe r>0 tal que B= B\left[ a;r\right]\subset U (por U ser aberto). Provemos que B( f(a); (1-c) r )\subset f(U) .

Dado y\in B(f(a); (1-c)r ) , segue que T_y : B\to E , onde T_y(x)=y-\phi (x) , é uma contração. Como B é fechado de um espaço de Banach, segue que é completo.   Tem-se que

\left|a-T_y(a)\right| = \left| a+\phi (a ) -y\right| = \left| y-f(a) \right| < (1-c)\cdot r .

Portanto, pelo leminha, segue que T_y (B )\subset B . Logo, pelo teorema do ponto fixo de Banach, T_y possui um único ponto fixo. Disso segue que existe x_y\in B tal que f(x_y) = y . Ou seja, y\in f(U) . Isso completou a prova de que B(f(a); (1-c)r )\subset f(U) . E isso, por sua vez, completou a prova de que f(U) é aberto.

CQD

Corolário do lema 3: Sejam U\subset\mathbb{R} ^m um aberto e f:U\to\mathbb{R}^m uma aplicação da forma f(x) = T\cdot x + \phi (x) , onde T:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^m é um isomorfismo de espaços vetoriais e \phi : U\to\mathbb{R}^m é lipschitziana. Se a constante k de Lipschitz de \phi   é tal que \left\| T^{-1} \right\|\cdot k <1 , segue qye f é um homeomorfismo de U sobre um aberto f(U)\subset\mathbb{R}^m .

Demonstração: Com efeito, dados x,y\in U , tem-se que

\left| T^{-1}\cdot \phi (x)-T^{-1}\cdot \phi (y)\right| \leq

\left\| T^{-1}\right\| \left| \phi (x)-\phi (y)\right|\leq \left\| T^{-1}\right\|\cdot k\cdot \left| x-y\right| .

Isso provou que T^{-1}\cdot f é uma perturbação da identidade, pois

T^{-1}\cdot f (x) = x + T^{-1}\cdot \phi (x) . Logo, pelo lema demonstrado, T^{-1}\cdot f é um homeomorfismo de U sobre o aberto T^{-1} f(U)\subset\mathbb{R}^m . Como T é um isomorfismo de espaços vetoriais, segue que f é um homeomorfismo de U sobre o aberto f(U) .

CQD

Teorema 4 (Teorema da Função Inversa): Sejam U\subset \mathbb{R}^m um aberto e f: U\to\mathbb{R}^m de classe C^k tal que, em um ponto x_0\in U , f''(x_0) é um isomorfismo. Então f é um difeomorfismo de classe C^k de uma vizinhança V de x_0 sobre uma vizinhança U de f(x_0) .

Demonstração: Apenas para facilitar notação, sem perda de generalidade, supomos f'(0) é um isomorfismo e f(0)=0 . Segue que f(x) = f'(0)\cdot x + r(x) .

Note que r(x) = f(x)- f'(0)\cdot x é de classe C^k . Além disso, r'(0) = 0 . Seja \lambda < \frac{1}{\left| f'(0)\right| } . Segue que existe uma bola aberta V centrada em 0 tal que:

1) \left| r'(x)\right| <\lambda   para todo x\in V (basta usar a continuidade de r' );

2)f'(x) é um ismorfismo para todo x\in V (basta usar a continuidade de f' ).

Pela desigualdade do valor médio, \left| r(x)-r(y)\right| \leq \lambda \left| x-y\right| para todo x,y\in V . O corolário acima nos diz que f|_V é um homeomorfismo sobre um aberto f(V)= U\subset\mathbb{R}^m (vizinhança de f(0) ).

Provemos que g=f^{-1}: W\to V é diferenciável. Para isso, devemos provar que \displaystyle\frac{s(k)}{ \left| k\right| } = 0 , onde g(y+k) = g(y)+(f'(x))^{-1}\cdot k + s(k) .

.. .. ..

Teorema 6 (Teorema da Existência e Unicidade): Seja E um espaço de Banach. Suponha que f: L\times B\to E , onde B\subset E é uma bola fechada centrada em x_0 (com raio \beta ) e L\subset\mathbb{R} é um intervalo fechado centrado em t_0 (com raio \alpha ), é uma aplicação contínua limitada por M cumprindo a condição de Lipschitz \left| f(t, x) - f(t,y)\right|\leq c\cdot\left| x-y\right| para todo (t,x), (t,y) \in L\times B . Segue que existe uma única aplicação \phi: I\to E , onde I é centrado em t_0 (com raio min\left\{ \alpha , \frac{\beta }{M}\right\} ), diferenciável (de fato, C^1 ) que cumpre \phi ' (t) =f(t, \phi (t) ) e \phi (t_0)=x_0 .

Demonstração:


Variedade afim paralela a um subespaço normado: um exemplo de espaço métrico

novembro 2, 2009

Um post para relaxar. =)

Sejam E um espaço vetorial e U\subset E um subespaço. Dado u\in E-U , a translação V= u+U é chamada de variedade afim. O subespaço U é chamado de subespaço paralelo à varidade afim V

A idéia é munir a variedade afim V de uma métrica proveniente de uma norma em U . Quando o espaço todo está munido de uma norma, basta tomar induzir a métrica do subespaço; mas o caso fica diferente quando tão somente o subespaço paralelo à variedade afim que está munido da norma.

Por exemplo, a norma do sup (da convergência uniforme) no subespaço das funções limitadas \beta (X; E) com contradomínio em um espaço vetorial normado E . Ela está definida num subespaço (está definida apenas no subespaço das funções limitadas) e não no espaço todo das funções. Se quisermos definir alguma métrica, numa variedade afim paralela a esse subespaço proveniente dessa norma, podemos utilizar o procedimento que segue:

Sejam E um espaço vetorial, F\subset E um subespaço vetorial normado (onde \left\| \cdot \right\| é a norma em F ) e V=F+u uma variedade afim. Define-se a seguinte métrica:

Dados w,v\in V , (w-v)\in F necessáriamente. Basta ver que w=w' + u e v = v' + u (para algum w'\in F e algum v' , segue que w-v= w'-v' , ou seja, (w-v)\in F .

Logo podemos definir d(w,v)=\left\| w-v \right\| .

Exemplo: No caso, das funções limitadas \beta (X, E) (com a métrica do sup), dado \alpha : X\to M não limitada, a variedade afim \beta (X, E) + \alpha é denotada por \beta _\alpha (X,E) . Esse espaço normalmente é dito ser o espaço das funções com “distância finita” de \alpha   e a métrica é justamente a métrica acima definida. =) (que, na verdade, acaba sendo d(f,g)=sup _{x\in X} \left\| f(x) - g(x)\right\| )