Curvas de Peano

julho 3, 2010

Neste post todo, o intervalo \left[ 0,1\right] será denotado por I . Seja M um espaço métrico. Uma curva de Peano em M é uma aplicação contínua f:I\to M sobrejetiva.

Essas curvas de Peano tem relação (evidente) com o “cálculo” de grupos fundamentais. Em particular, a existência dessas curvas de Peano, por exemplo, está relacionada com a prova de que S^n é simplesmente conexo para n\geq 2 . Isso será explicado em outro post.

Aqui, vou construir de forma direta uma curva de Peano em I^n , n\in\mathbb{N} qualquer (por exemplo, I^2 é o quadrado fechado). Para isso, vou utilizar algumas considerações do post anterior.

Segue, abaixo, mais um lema sobre extensão contínua que será importante para a construção das curvas de Peano.

Lema 1: Seja C\subset I um subconjunto fechado. Se X\subset\mathbb{R}^n é um conjunto convexo, segue que qualquer aplicação contínua f:C\to X possui extensão contínua F:I\to X .

Demonstração: Com efeito, pela estrutura (topológica) da reta, tem-se um resultado conhecido de que todo aberto pode ser escrito como uma reunião enumerável de intervalos abertos disjuntos. Logo I-C é escrito como uma reunião enumerável \displaystyle\bigcup _{k\in L} A_k de intervalos abertos A_k = (a_k,b_k) . Logo define-se F(x) = f(x) , se x\in C . E, para x\in I-C , tem-se que x\in (a_k,b_k) para algum k\in L e, nesse caso, define-se \displaystyle F(x) = \left(\frac{x-b_k}{a_k-b_k}\right)f(a_k)+\left(\frac{a_k-x}{a_k-b_k}\right) f(b_k) . Verificar que F é, de fato, contínua é fácil. Além disso, pode-se notar que F está definida nesses intervalos abertos como sendo o segmento de reta que liga os valores de f nos extremos.

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Antes de construir a curva de Peano, seguem algumas definições e um lema importante para a construção.  Seja \left\{ 0,1\right\} o espaço topológico (metrizável) munido da topologia discreta.

Segue que K=\left\{  0,1\right\} ^\mathbb{N} é um produto de espaços e, munido da topologia produto, é metrizável. Pelo teorema de Tychonoff, segue que K é compacto. E, pelas considerações do post anterior, tem-se que K é homeomorfo a K^n (para qualquer n\in\mathbb{N} ) .

Lema 2: Seja K=\left\{ 0,1\right\} ^\mathbb{N} o produto dos espaços topológicos discretos. Existe uma aplicação contínua sobrejetiva h : K\to I^n .

Demonstração: Define-se uma métrica em K=\left\{ 0,1\right\} ^\mathbb{N} . Dados x,y\in K , define-se \displaystyle d(x,y)=\sum _{i=1}^\infty  \frac{\left| x_i-y_i\right| }{2^i} . E, então, a aplicação \alpha : K\to I tal que \alpha (x) = d(x,0) , denotando-se 0 = (0,\ldots ,0) ,  é evidentemente contínua e sobrejetiva. Logo, dado n\in\mathbb{N} , \alpha\times\cdots\times\alpha = (\alpha )^n : K^n\to I^n é uma aplicação contínua sobrejetiva. Seja, então \beta : K\to K^n um homeomorfismo. Segue, então, que h= (\alpha )^n\circ\beta : K\to I^n é uma aplicação contínua sobrejetiva.

CQD

Teorema de Peano: Para qualquer n\in\mathbb{N} , existe uma aplicação contínua f: I\to I^n sobrejetiva.

Demonstração: Mune-se K=\left\{ 0,1\right\} ^\mathbb{N} da seguinte métrica coerente com a topologia produto d(x,y) = \displaystyle\sum _{i=1}^\infty \frac{\left| x_i - y_i\right|}{10^i} .

Define-se, então, a aplicação contínua \phi : K\to I tal que \phi (x) = d(x,0) . É fácil verficar que \phi é injetiva. Define-se M=f(K) . Tem-se, então, que M é compacto (e, em particular, fechado em I ). Além disso, tem-se que \varphi : K\to M , onde \varphi (x) = \phi (x) , é uma bijeção contínua definida num compacto que toma valores num espaço Hausdorff. Portanto  \varphi é um homeomorfismo e, então, K e M são homeomorfos.

Dado n\in\mathbb{N} , toma-se a aplicação contínua sobrejetiva h: K\to I^n , cuja existência é garantida pelo lema 2. Portanto h\circ (\varphi )^{-1}: M\to I^n é uma aplicação contínua sobrejetiva. Pelo lema 1, segue que existe uma extensão contínua f: I\to I^n (sobrejetiva) de h\circ (\varphi )^{-1} .

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Outro lema sobre extensão

junho 29, 2010

Sejam X um espaço topológico e A\subset X . Diz-se que A é um retrato de X se existe uma aplicação contínua R: X\to A tal que R(x) = x para todo x\in A . Isso, em termos de extensão contínua, pode ser colocado da seguinte forma A\subset X é um retrato de X se a aplicação Id: A\to A possui extensão contínua R: X\to A . A extensão contínua R: X\to A é chamada de retração.

Aqui, vou apresentar um lema sobre extensão que, na verdade, é uma caracterização de retratos de espaços.

Lema 1: Seja X um espaço topológico. Um subespaço A\subset X é retrato de X se, e somente se, toda aplicação f:A\to Y contínua possuir uma extensão contínua F: X\to Y .

Demonstração: Com efeito, se toda aplicação f:A\to Y possui extensão contínua, segue, em particular, que Id :A\to A possui extensão contínua R: X\to A . Logo A é retrato.

Reciprocamente, se A\subset X é um retrato, toma-se a retração R: X\to A . Dada f:A\to Y contínua, segue que F := f\circ R é uma extensão contínua de f .

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Sejam X um espaço topológico e A\subset X . Uma retração R: X\to A é chamada de retração por deformação se ela for, também, uma equivalência homotópica com inverso homotópico sendo a inclusão i:A\to X .

Usando o lema sobre extensão, segue um resultado interessante: todo retrato de um espaço contrátil é contrátil. Afinal, se X é um espaço contrátil e A\subset X é retrato do espaço X , segue que Id: A\to A possui extensão contínua. E, pelo lema sobre extensão , isso implica que Id é homotópica a uma aplicação constante. Portanto A é contrátil.

Outra forma de provar isso, é vendo que, se X é um espaço contrátil, toda retração com domínio em X é uma retração por deformação. Afinal, se R:X\to A é uma retração, tem-se que a inclusão i:A\to X   é homotópica a alguma aplicação constante. Logo R\circ i =Id e i\circ R é homotópico a uma aplicação constante. Como X é contrátil, segue que i\circ R :X\to X , por ser homotópico a uma aplicação constante, é homotópico à aplicação identidade. Isso provou que, de fato, R é uma equivalência homotópica e, portanto, A contrátil.


Lema Sobre Extensão

junho 2, 2010

Aqui, será provado um teorema básico sobre extensão de funções contínuas definidas na esfera, para a bola fechada toda. O teorema mais geral sobre esse tipo de extensão é provado no post sobre Compactos Convexos. Aqui, será apresentado apenas o teorema básico para futuras referências.

Sejam X,Y espaços topológicos e A\subset X . Uma função contínua F: X\to Y é uma extensão contínua da aplicação contínua f: A\to Y , se F|_A = f .

O teorema que será provado diz que uma aplicação f: S^n\to X , onde X é um espaço topológico qualquer, possui uma extensão contínua F: B^{n+1}\to X se, e somente se, f é homotópico a uma aplicação constante. Um dos sentidos do teorema sobre extensão é trivial. Existem duas formas de verificar isso. Evitando a linguagem de categorias (com essa linguagem consegue-se mostrar (de forma direta) uma forma que generaliza (e trivializa) essa condição necessária para haver uma extensão), eu consegui uma demonstração rápida desse fato (que vou enunciar, abaixo, como lema).

Lema 1.: Sejam E um espaço vetorial normado, K\subset E um convexo, A\subset K um subconjunto não vazio e X um espaço topológico. Se f: A\to X é contínua, então uma condição necessária para que f tenha extensão contínua em K é que f seja homotópica a uma aplicação constante.

Demonstração: Se f^*: K\to X é uma extensão contínua, então, tomando a inclusão i: A\to K , segue que f^*\circ  i = f . Mas, como K é convexo (e, em particular, contrátil), tem-se que i é homotópico a uma aplicação constante t:  A\to K . Disso segue que f é homotópico a f^*\circ t (que é constante).

CQD

Abaixo segue o teorema central deste post. Este teorema é utilizado na maioria dos posts sobre topologia. Em particular, o teorema do ponto fixo de Brouwer.

Teorema 2.: Seja X um espaço topológico. Uma aplicação contínua f: S^n\to X possui uma extensão F :  B^{n+1}\to X contínua se, e somente se, f é homotópico a uma aplicação constante.

Demonstração: Com efeito, se f: S^n\to X possui extensão, segue, pelo lema 1, que f é homotópico a uma aplicação constante. Reciprocamente, se f é homotópico a uma constante, segue que existe uma homotopia L: f\cong k , onde k: S^n\to X é uma aplicação constante. Define-se a aplicação sobrejetiva

\varphi : S^n\times\left[ 0,1\right]\to B^{n+1} , onde \varphi (x,t) = (1-t)x . Essa aplicação tem domínio compacto e contra-domínio Hausdorff, logo é fechada (e, portanto, é aplicação quociente). Observe que, dados \varphi (x_1,t_1) =\varphi (x_2,  t_2) , ou (x_1,t_1) = (x_2,t_2) , ou então t_1 = t_2 = 1  . E, portanto, em ambos os casos L(\varphi (x_1,t_1) ) = L(  \varphi (x_2 ,t_2) ) . Portanto, dado y\in B^{n+1} , y possui uma imagem inversa \varphi ^{-1} (y) e, tomando (x,t)\in \varphi ^{-1} (y) qualquer, podemos definir F:  B^{n+1}\to X como sendo F(y) = L(x,t) (pelo observado, segue que isso está bem definido). Note que F\circ \varphi = L .

Como \varphi é aplicação quociente, o fato de F\circ  \varphi = L ser contínua implica que F é contínua. E, para completar, é fácil verficar que F|_{S^n} = f .

CQD