O Teorema de Baire

janeiro 13, 2010

No post Aplicações Lineares em Espaços Normados, podemos perceber que para resolver questões como a “limitação uniforme” de uma família de aplicações lineares, ou para saber se determinada aplicação linear é aberta, é importante saber se determinados conjuntos possuem interior. Um resultado que garante que certos conjuntos possuem interior é o Teorema de Baire.

Em analogia com os espaços de medida, se a união enumerável de uma família de conjuntos mensuráveis tiver medida estritamente positiva, então ao menos um elemento dessa família também tem medida não nula. A união enumerável de uma família de conjuntos de medida nula é necessariamente um conjunto de medida nula. No Teorema de Baire, o análogo aos conjuntos de medida nula, são os conjuntos fechados com interior vazio. (ou então conjuntos cujo fecho tem interior vazio). Mostraremos que em espaços métricos completos, a união enumerável de fechados com o interior vazio também tem interior vazio. Espaços que possuem essa propriedade são chamados Espaços de Baire.

Definição: Um espaço topológico onde a união enumerável de fechados com interior vazio também tem necessariamente interior vazio é chamado de Espaço de Baire.

Exemplo: Em \mathbb{R}^3, por exemplo, nenhuma bola pode ser escrita como uma união enumerável de fechados com interior vazio. Em particular, nenhuma bola é uma união enumerável de esferas. As esferas são conjuntos que não possuem volume, enquanto que a bola possui.

Contra-exemplo: Os números reais são a união dos racionais e os irracionais. Ambos tem interior vazio. No entanto, nenhum dos dois é fechado.

Lema: São equivalentes as afirmações a respeito de um espaço topológico X:
1. A união enumerável de fechados com interior vazio tem interior vazio. (ou seja, X é Espaço de Baire)
2. A união enumerável de conjuntos cujo fecho tem interior vazio é um conjunto com interior vazio.
3. A interseção enumerável de abertos densos é densa.

Demonstração: A parte mais difícil é o item 3. Basta notar que um conjunto é fechado com interior vazio exatamente quando seu complemento é aberto denso.


Teorema de Baire: Um espaço métrico completo X é um espaço de Baire. Em particular, um espaço de Banach é um espaço de Baire.

Demonstração:
Deu uma preguiça enorme!!! Mas na Wikipedia tem. 🙂


Princípio da Limitação Uniforme: Sejam X um espaço de Banach e Y um espaço normado. E seja T_\lambda: X \rightarrow Y uma família de aplicações lineares contínuas tais que para todo x \in X existe M_x \in \mathbb{R} tal que T_\lambda x \leq M_x para todo \lambda. Então a família T_\lambda é uniformemente limitada.

Demonstração:
Por hipótese,
X = \bigcup_{N \in \mathbb{N}} \bigcap_\lambda T_\lambda^{-1}(\overline{B_N}).
Pelo teorema de Baire, existe N \in \mathbb{N} tal que \bigcap_\lambda T_\lambda^{-1}(\overline{B_N}) tem interior.

Pelo post Aplicações Lineares em Espaços Normados, proposição 3, item 8, segue que a família T_\lambda é uniformemente limitada.

Corolário: Se X é um espaço de Banach e Y um espaço normado. E se T_n: X \rightarrow Y uma família de aplicações lineares contínuas tais que T_n converge pontualmente para uma aplicação T: X \rightarrow Y, então T é uma aplicação linear contínua.

Demonstração: É fácil ver que T é linear. Para ver que T é limitada, basta notar que \|T\| \leq \sup \|T_n\|. Mas este supremo é finito pelo princípio da limitação uniforme acima, pois a convergência pontual implica que T_n x é limitada para todo x \in X.


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Aplicações Lineares em Espaços Normados

janeiro 11, 2010

O objetivo deste artigo é discutir as várias interpretações que caracterizam a condição de uma aplicação linear ser limitada (definição a seguir). Devido ao fato de a métrica induzida por uma norma qualquer ser invariante por translações, temos a continuidade de uma aplicação linear ser equivalente à continuidade em um ponto qualquer. Em geral, tomamos a origem. 😉

Já a propriedade \|\alpha x\| = |\alpha| \|x\| implica na equivalência entre a continuidade na origem e a limitação da aplicação linear. A equivalência entre continuidade, continuidade em um ponto e limitação de uma aplicação linear é bastante conhecida.

Definição: uma aplicação linear T: X \rightarrow Y entre espaços normados é limitada quando T(B_1) for um conjunto limitado em Y. Onde B_\alpha é a bola de raio \alpha. Usamos a mesma notação para bolas em X ou Y.

Proposição 1: Seja T: X \rightarrow Y uma aplicação linear entre espaços normados. São equivalentes:
1. T é contínua.
2. T é contínua em um ponto.
3. T é contínua na origem.

4. T é limitada.
5. A imagem de toda bola é limitada.
6. A imagem de alguma bola é limitada.
7. A imagem de alguma vizinhança da origem é limitada.
8. A imagem de todo conjunto limitado é limitada.

9. A imagem de algum aberto é limitada.

10. A imagem inversa por T de algum conjunto limitado tem interior.
11. O conjunto T^{-1}(B_\alpha) tem interior para algum \alpha > 0.
12. O conjunto T^{-1}(B_\alpha) tem interior para todo \alpha > 0.
13. O conjunto T^{-1}(B_1) tem interior.

Demonstração:
A equivalência entre os quatro primeiros itens já foi comentada nos primeiros parágrafos.

A equivalência entre 4, 5, 6, 7 e 8 segue do fato T(B_\alpha) = \alpha T(B_1)

É fácil ver que 4 implica em 9, basta tomar a imagem de B_1. Por outro lado, se V \subset X é aberto com imagem limitada, então V - V é vizinhança da origem com imagem limitada. Ou seja, 9 implica em 7.

É trivial que 1 implica em 10, e que 10 implica em 11.
Também é fácil ver que 11, 12 e 13 são equivalentes, pois B_\alpha = \alpha B_1.

Para ver que 13 implica em 9, basta tomar A como sendo o interior (não vazio) de T^{-1}(B_1). Então, a imagem do aberto A é limitada!


A essas alturas, quem não se cansou e desistiu de ler todas as equivalências acima está provavelmente criando suas próprias variações. 🙂

Algo que não é exatamente uma variação, mas que funciona da mesma forma, é a caracterização de aplicações abertas. As aplicações lineares abertas são necessariamente sobrejetivas. Assim como na proposição anterior, temos a equivalência:

Proposição 2: Seja T: X \rightarrow Y uma aplicação linear sobrejetiva entre espaços normados. São equivalentes:
1. T é aberta.
2. T é aberta em um ponto. (a imagem de toda vizinhança do ponto é vizinhança da imagem do ponto)
3. T é aberta na origem. (a imagem de toda vizinhança de 0 é vizinhança de 0)

5. A imagem inversa de toda bola é limitada.
6. A imagem inversa de alguma bola é limitada.
7. A imagem inversa de alguma vizinhança da origem é limitada.
8. A imagem inversa de todo conjunto limitada é limitada.

9. A imagem inversa de algum aberto é limitada.

10. A imagem de algum conjunto limitado tem interior.
11. O conjunto T(B_\alpha) tem interior para algum \alpha > 0.
12. O conjunto T(B_\alpha) tem interior para todo \alpha > 0.
13. O conjunto T(B_1) tem interior.


Podemos ir um pouco mais fundo e pensar sobre uma família de aplicações lineares que sejam uniformemente limitadas.

Definição: dada uma aplicação linear T: X \rightarrow Y entre espaços normados limitada, definimos a norma de T, por \|T\| = \sup_{x \in B_1} \|T(x)\|.

Definição: dizemos que uma família T_\lambda: X \rightarrow Y de aplicações lineares é uniformemente limitada se é tal que \sup_\lambda \|T_\lambda\| < M para algum M.

Vejamos algumas caracterizações de limitação uniforme.
Proposição 3: Seja T_\lambda: X \rightarrow Y uma família de aplicações lineares entre espaços normados. São equivalentes:
1. T_\lambda é uniformemente limitada.
2. \bigcap T_\lambda^{-1}(B_1) é vizinhança da origem.
3. Para algum \alpha > 0, \bigcap T_\lambda^{-1}(B_\alpha) é vizinhança da origem.

4. Para algum \alpha > 0, \bigcap T_\lambda^{-1}(B_\alpha) tem interior.
5. Para todo \alpha > 0, \bigcap T_\lambda^{-1}(B_\alpha) tem interior.
6. O conjunto \bigcap T_\lambda^{-1}(B_1) tem interior.

7. Para algum conjunto limitado B, \bigcap T_\lambda^{-1}(B) tem interior.
8. Para algum \alpha > 0, \bigcap T_\lambda^{-1}(\overline{B_\alpha}) tem interior.

Demonstração:
A equivalência entre 1, 2 e 3 é exatamente como nas proposições anteriores. A equivalência entre 4, 5, 6, 7 e 8 também é imediata. E é óbvio que 2 implica em 6.

Suponha 6. Então, \bigcap T_\lambda^{-1}(B_2) = \bigcap T_\lambda^{-1}(B_1 - B_1) = \bigcap (T_\lambda^{-1}(B_1) - T_\lambda^{-1}(B_1)) é vizinhança da origem. Ou seja, 6 implica em 3.


As caracterizações apresentadas acima são utilizadas em teoremas como o teorema da aplicação aberta e o princípio da limitação uniforme, mas em geral ficam ocultas dentro da demonstração.