Completude dos Espaços L^p

fevereiro 21, 2010

Considere uma medida \mu. É um tanto quanto fácil mostrar que o espaço normado (L^\infty(\mu), \| \cdot \|_\infty) é completo. O primeiro passo é mostrar que dada uma sequência de Cauchy f_n, esta sequência converge pontualmente para uma função f. É fácil ver que f \in L^\infty. Aí então, mostramos que \|f_n - f\|_\infty \rightarrow 0.

O caso 1 \leq p < \infty é semelhante. No entanto, neste caso, exibir o limite pontual de f_n não é tão simples. Vamos começar com um lema que, como sempre, poderia estar simplesmente embutido/escondido na demonstração.

Lema: Seja (X, \|\cdot\|) um espaço normado. Para que seja um espaço de Banach, é suficiente que toda série absolutamente convergente (\sum \|x_n\| < \infty) seja convergente.

Demonstração:
Seja y_n uma sequência de Cauchy. Podemos assumir que y_0 = 0. Faça N(0) = 0. E, para todo k > 0, escolha N = N(k) > N(k-1) tal que n \geq N \Rightarrow \|y_N - y_n\| \leq \frac{1}{2^k}. Assim, para k > 0, a série dada por x_k = y_{N(k)} - y_{N(k-1)} é absolutamente convergente. Por hipótese, a sub-sequência y_{N(k)} = \sum_{n=1}^{N(k)} x_n converge. Basta então notar que toda sequência de Cauchy que possui sub-sequência convergente converge para o mesmo limite.


Teorema: O espaço normado (L^p, \|\cdot\|_p), 1 \leq p < \infty é completo.

Demonstração:
Pelo lema anterior, basta mostrar que uma série absolutamente convergente dada pelos termos h_n é convergente. Dizer que a série dada por h_n é absolutamente convergente é o mesmo que dizer que existe M tal que \sum_{j=1}^n \|h_j\|_p \uparrow M.

Seja f_n = \sum_{j=1}^n h_j e g_n = \sum_{j=1}^n |h_j|.

Por ser crescente, g_n possui limite pontual (que pode ser infinito) g.

Afirmação 1: g \in L^p.

Pelo teorema da convergência monótona, como |g_n|^p \uparrow |g|^p, temos que \|g_n\|_p \rightarrow \|g\|_p. Então, \|g_n\|_p \leq \sum_{j=1}^n \|h_j\|_p \uparrow M, e em particular temos que g \in L^p.

Como g \in L^p, temos que o conjunto dos pontos onde g é infinito tem medida nula. Ou seja, a série h_n(x) converge absolutamente qtp. Em particular, f_n possui limite f qtp.

Afirmação 2: f \in L^p.

Temos que |f_n| \leq g_n \leq g. Ou seja, |f_n|^p \leq g_n^p \leq g^p \in L^1. Pelo teorema da convergência dominada, \|f\|_p = \lim \|f_n\|_p \leq \|g\|_p.

Afirmação 3: \|f_n - f\|_p \rightarrow 0.

Sabemos que f_n - f \rightarrow 0 pontualmente. Também é verdade que |f_n - f| \leq 2g. Novamente, pelo teorema da convergência dominada, \int |f_n - f|^p \rightarrow \int \lim |f_n - f|^p = \int 0 = 0.

A afirmação 3 concluí a demonstração.


O lema poderia de fato ter sido embutido na demonstração do teorema. Para isso, poderíamos por exemplo, bastava ter construído a série h_k = f_{N(k)} - f_{N(k-1)} a partir da sequência f_n, assumindo f_0 = 0.

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Aplicações Lineares em Espaços Normados

janeiro 11, 2010

O objetivo deste artigo é discutir as várias interpretações que caracterizam a condição de uma aplicação linear ser limitada (definição a seguir). Devido ao fato de a métrica induzida por uma norma qualquer ser invariante por translações, temos a continuidade de uma aplicação linear ser equivalente à continuidade em um ponto qualquer. Em geral, tomamos a origem. 😉

Já a propriedade \|\alpha x\| = |\alpha| \|x\| implica na equivalência entre a continuidade na origem e a limitação da aplicação linear. A equivalência entre continuidade, continuidade em um ponto e limitação de uma aplicação linear é bastante conhecida.

Definição: uma aplicação linear T: X \rightarrow Y entre espaços normados é limitada quando T(B_1) for um conjunto limitado em Y. Onde B_\alpha é a bola de raio \alpha. Usamos a mesma notação para bolas em X ou Y.

Proposição 1: Seja T: X \rightarrow Y uma aplicação linear entre espaços normados. São equivalentes:
1. T é contínua.
2. T é contínua em um ponto.
3. T é contínua na origem.

4. T é limitada.
5. A imagem de toda bola é limitada.
6. A imagem de alguma bola é limitada.
7. A imagem de alguma vizinhança da origem é limitada.
8. A imagem de todo conjunto limitado é limitada.

9. A imagem de algum aberto é limitada.

10. A imagem inversa por T de algum conjunto limitado tem interior.
11. O conjunto T^{-1}(B_\alpha) tem interior para algum \alpha > 0.
12. O conjunto T^{-1}(B_\alpha) tem interior para todo \alpha > 0.
13. O conjunto T^{-1}(B_1) tem interior.

Demonstração:
A equivalência entre os quatro primeiros itens já foi comentada nos primeiros parágrafos.

A equivalência entre 4, 5, 6, 7 e 8 segue do fato T(B_\alpha) = \alpha T(B_1)

É fácil ver que 4 implica em 9, basta tomar a imagem de B_1. Por outro lado, se V \subset X é aberto com imagem limitada, então V - V é vizinhança da origem com imagem limitada. Ou seja, 9 implica em 7.

É trivial que 1 implica em 10, e que 10 implica em 11.
Também é fácil ver que 11, 12 e 13 são equivalentes, pois B_\alpha = \alpha B_1.

Para ver que 13 implica em 9, basta tomar A como sendo o interior (não vazio) de T^{-1}(B_1). Então, a imagem do aberto A é limitada!


A essas alturas, quem não se cansou e desistiu de ler todas as equivalências acima está provavelmente criando suas próprias variações. 🙂

Algo que não é exatamente uma variação, mas que funciona da mesma forma, é a caracterização de aplicações abertas. As aplicações lineares abertas são necessariamente sobrejetivas. Assim como na proposição anterior, temos a equivalência:

Proposição 2: Seja T: X \rightarrow Y uma aplicação linear sobrejetiva entre espaços normados. São equivalentes:
1. T é aberta.
2. T é aberta em um ponto. (a imagem de toda vizinhança do ponto é vizinhança da imagem do ponto)
3. T é aberta na origem. (a imagem de toda vizinhança de 0 é vizinhança de 0)

5. A imagem inversa de toda bola é limitada.
6. A imagem inversa de alguma bola é limitada.
7. A imagem inversa de alguma vizinhança da origem é limitada.
8. A imagem inversa de todo conjunto limitada é limitada.

9. A imagem inversa de algum aberto é limitada.

10. A imagem de algum conjunto limitado tem interior.
11. O conjunto T(B_\alpha) tem interior para algum \alpha > 0.
12. O conjunto T(B_\alpha) tem interior para todo \alpha > 0.
13. O conjunto T(B_1) tem interior.


Podemos ir um pouco mais fundo e pensar sobre uma família de aplicações lineares que sejam uniformemente limitadas.

Definição: dada uma aplicação linear T: X \rightarrow Y entre espaços normados limitada, definimos a norma de T, por \|T\| = \sup_{x \in B_1} \|T(x)\|.

Definição: dizemos que uma família T_\lambda: X \rightarrow Y de aplicações lineares é uniformemente limitada se é tal que \sup_\lambda \|T_\lambda\| < M para algum M.

Vejamos algumas caracterizações de limitação uniforme.
Proposição 3: Seja T_\lambda: X \rightarrow Y uma família de aplicações lineares entre espaços normados. São equivalentes:
1. T_\lambda é uniformemente limitada.
2. \bigcap T_\lambda^{-1}(B_1) é vizinhança da origem.
3. Para algum \alpha > 0, \bigcap T_\lambda^{-1}(B_\alpha) é vizinhança da origem.

4. Para algum \alpha > 0, \bigcap T_\lambda^{-1}(B_\alpha) tem interior.
5. Para todo \alpha > 0, \bigcap T_\lambda^{-1}(B_\alpha) tem interior.
6. O conjunto \bigcap T_\lambda^{-1}(B_1) tem interior.

7. Para algum conjunto limitado B, \bigcap T_\lambda^{-1}(B) tem interior.
8. Para algum \alpha > 0, \bigcap T_\lambda^{-1}(\overline{B_\alpha}) tem interior.

Demonstração:
A equivalência entre 1, 2 e 3 é exatamente como nas proposições anteriores. A equivalência entre 4, 5, 6, 7 e 8 também é imediata. E é óbvio que 2 implica em 6.

Suponha 6. Então, \bigcap T_\lambda^{-1}(B_2) = \bigcap T_\lambda^{-1}(B_1 - B_1) = \bigcap (T_\lambda^{-1}(B_1) - T_\lambda^{-1}(B_1)) é vizinhança da origem. Ou seja, 6 implica em 3.


As caracterizações apresentadas acima são utilizadas em teoremas como o teorema da aplicação aberta e o princípio da limitação uniforme, mas em geral ficam ocultas dentro da demonstração.