Ponto Fixo de Brouwer, 2ª demonstração

junho 22, 2010

Houve um deslize estranho meu no post sobre Borsuk-Ulam. A demonstração de um dos lemas estava totalmente deslocada. Então o post e a demonstração estão sendo reformados. Enquanto isso, surgiu uma idéia para uma nova demonstração do teorema do ponto fixo de Brouwer. Ela não tem a construção bonita da demonstração do teorema 3 do post. Mas achei essa demonstração bonita por ser mais clara e, principalmente, direta.

De novo, vou assumir que S^n não é contrátil (e novamente vou adiar a demonstração disso para outro post).

Lema 1: Toda aplicação contínua f: S^n\to S^n homotópica a uma aplicação constante possui ponto fixo.

Demonstração: Caso, por absurdo, existisse uma aplicação contínua f: S^n\to S^n homotópica a uma constante e sem pontos fixos, então a aplicação antípoda \alpha :S^n\to S^n seria homotópica à f , ou seja, \alpha seria homotópica a uma constante. Logo \alpha\circ \alpha =Id seria homotópica a uma constante. Absurdo. Pois S^n não é contrátil.

CQD

Teorema 2 (Teorema do Ponto Fixo de Brouwer): Toda aplicação contínua f: B^{n+1}\to B^{n+1} possui ponto fixo.

Demonstração: Com efeito, supõe-se que existe f: B^{n+1}\to B^{n+1} sem pontos fixos. Constrói-se, então, G: B^{n+1}\to S^{n} onde \displaystyle G(x) = \frac{ f(x)-x }{\left| f(x)-x\right| } .

É fácil notar que G não possui pontos fixos. Mas g = G|_{S^n} possui extensão contínua G . Logo, pelo lema sobre extensão, segue que g é homotópica a uma aplicação constante e, então, pelo lema 1, segue que g possui pontos fixos. Absurdo.

CQD

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Ponto Fixo de Banach: espaços compactos

março 5, 2010

Além do teorema de ponto fixo de Banach apresentado no post anterior, existe uma “outra versão” do teorema do ponto fixo de Banach: esse eu chamo de Banach para compactos. As diferenças são:

1) Não é exigido, na hipótese, que a função seja um contração: é exigido uma condição mais fraca;

2) Exige-se que o espaço seja compacto.

Teorema 1: Sejam K um espaço métrico compacto e f: K\to K um aplicação que satisfaz d(f(x),f(y)) < d(x,y) para todo par de pontos distintos x,y\in K . Segue que f possui um único ponto fixo.

Demonstração: Com efeito, seja h: K\to\mathbb{R} , h(x) = d(f(x),x) . Como f é contínua, segue que h é contínua (por ser composição de aplicações contínuas). Logom como h está definida num compacto, segue que possui um máximo e um mínimo.

Seja x_0\in K o ponto em que h assume seu mínimo.  Se, por absurdo, f(x_0)\neq x_0 , segue que

0< d(x_0,f(x_0))=h(x_0)\leq h(f(x_0) ) = d(f(x_0), f^2 (x_0))

Isso implica f(x_0)\neq f^2 (x_0 ) e, portanto, pela hipótese, tem-se

d(f^2(x_0),f(x_0))<d(f(x_0),x_0) . Absurdo.

Logo deve-se ter que f(x_0) =x_0 .

Para provar a unicidade, supõe-se que x_0, y_0\in K são tais que f(y_0)=y_0 e f(x_0) = x_0 . Logo d(f(x_0),f(y_0)) = d(x_0. y_0) . Pela hipótese, segue que x_0=y_0 .

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Ponto Fixo de Brouwer

março 4, 2010

Um espaço topológico X tem a “propriedade de ponto fixo” quando toda aplicação contínua f: X\to X possui ponto fixo. Os teoremas de Brouwer falam que certos subconjuntos de “certos” espaços vetoriais normados tem a propriedade de ponto fixo.

Note que isso os diferencia muito dos teoremas de ponto fixo de Banach. Os teoremas de Banach tomam por hipótese condições a mais sobre a função (além da continuidade) para garantir a existência do ponto fixo e, portanto, não diz nada sobre o espaço possuir propriedade do ponto fixo…

Afirmação 1: A propriedade do ponto fixo é uma propriedade topológica.

Demonstração: Com efeito, se X possui propriedade do ponto fixo e Y é homeomorfo a X , dada uma aplicação contínua f:X\to X , segue que \phi\circ f \circ \phi ^{-1} : Y\to Y , onde \phi : X\to Y é um homeomorfismo, é contínua. E, portanto, existe x\in X tal que \phi\circ f \circ \phi ^{-1} (x) = x . Isso quer dizer que f(\phi ^{-1} (x)) = \phi ^{-1} (x) . Ou seja, \phi ^{-1} (x)\in Y é ponto fixo de f . Isso completou a prova de que Y possui propriedade do ponto fixo.

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Aqui, o objetivo é demonstrar algumas versões do teorema do ponto fixo de Brouwer. Note que, como a propriedade de ponto fixo é uma propriedade topológica, quando for provado que um espaço X possui propriedade de ponto fixo, segue que todo espaço homeomorfo a X também a tem. No caso, será provado que a bola fechada B^{n+1} possui propriedade de ponto fixo e, então, isso quer dizer que todos os espaços homeomorfos à bola fechada possuem propriedade do ponto fixo; como, por exemplo, os compactos convexos de interior não vazio de \mathbb{R} ^n .

O primeiro teorema será o caso trivial: o teorema o ponto fixo de Brouwer na reta. Para o teorema na reta, abaixo, serão apresentadas duas demonstrações.

Há uma interpretação geométrica fácil do teorema do ponto fixo de Brouwer na reta. Ele diz que não é possível “ligar” dois lados paralelos do quadrado por uma linha (contínua) sem intersectar a diagonal do quadrado.

Teorema 1 (Brouwer na Reta): Seja f: I\to I uma aplicação contínua, onde I\subset\mathbb{R} é um intervalo fechado. Segue que f possui ponto fixo.

Demonstração 1: Com efeito, seja I=\left[ a,b \right] , define-se \phi : I\to\mathbb{R} , onde \phi (x) = f(x)-x . Decidir se f possui ponto fixo se resume a decidir se \phi possui raiz. Como f(a)\geq a e f(b)\leq b , tem-se que \phi (a)\geq 0 e \phi (b)\leq 0 . Do teorema do valor intermediário, infere-se que existe c\in I tal que \phi (c) = 0 .

Disso segue que f(c)=c .

CQD

Demonstração 2: Com efeito, supõe-se por absurdo que existe f: \left[ -1,1\right]\to \left[ -1,1\right] contínua sem pontos fixos. Disso segue que pode-se definir G:\left[ -1,1\right]\to \left\{ -1,1\right\} , \displaystyle G(x) = \frac{ x-f(x)}{\left| f(x) - x\right|} . Por f ser contínua, segue que G é contínua.

Nota-se que  G(1) = 1 e G(-1) = -1 . Em particular, segue que G( \left[ 0,1\right] ) = \left\{ 0,1\right\} . Mas \left[ 0,1\right] é conexo e \left\{ 0,1\right\} não. Como G é contínua, isso constitui um absurdo.

Portanto existe c\in\left[ 0,1\right] tal que f(c) = c .

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Sejam X um espaço topológico e A\subset X um subespaço. Uma aplicação r: X\to A que é extensão contínua da aplicação identidade id: A\to A é chamada de retração. Neste caso, se existe uma retração r: X\to A , A é chamado de retrato de X . Por exemplo, um ponto sempre é retrato do espaço que o contém.

Note que a demonstração 2 acima usou o fato de que um espaço a fronteira de um intervalo fechado não é retrato do espaço todo. Mais, geralmente, o argumento usou que um espaço conexo X não possui retratos desconexos: isso é óbvio do fato de que, se A é desconexo, não existe aplicação contínua r: X\to A sobrejetiva.

Os argumentos para demonstrar os teoremas de Brouwer nos casos mais gerais estão ligados com o fato de S^n não ser contrátil. Isso é equivalente a dizer que a identidade em S^n não é homotópica a nenhuma aplicação constante e, pelo teorema de extensão em S^n , isso é equivalente a dizer que S^n não é retrato de B^{n+1} .

A demonstração para o caso de dimensão 2 já exige que usemos o fato de S^1 não ser contrátil. Há algumas provas para esse fato:

Pode-se, por exemplo, ver que \pi _ 1 (S^1) = \mathbb{Z} e, por o grupo fundamental ser um invariante por tipo de homotopia, segue que  S^1 não tem o mesmo tipo de homotopia que um ponto, ou seja, não é contrátil (esse argumento será comentado em detalhes em um futuro post). De outra forma, usando homologia é possível provar que S^1 não é retrato de B^2 .

No entanto, a prova desse fato será adiada para outro post (com os dois argumentos).

Para demonstrar o teorema do ponto fixo de Brouwer de dimensão 2, será usado um argumento que vale para todas as dimensões pares.  Para argumentar dessa forma, será preciso recorrer a um resultado sobre esferas de dimensão ímpar. A demonstração para o caso geral de dimensão n não fará uso desse resultado, mas optei por colocar um argumento diferente no caso de dimensão 2 para apresentar os dois tipos de argumento.

Então o próximo teorema será o teorema do ponto fixo de Brouwer para dimensão 2. Primeiramente, prova-se a seguinte afirmação:

Afirmação 2: Se n é ímpar, então a aplicação antípoda \alpha : S^n\to S^n é homotópica à aplicação identidade id : S^n\to S^n .

Demonstração: Se n= 2k-1 , então S^n é homeomorfo a

\left\{ (u_1, \ldots , u_k ) : u_1, \ldots , u_k\in\mathbb{C}\mbox{ e } \left| u_1\right| ^2+ \cdots + \left| u_k\right| ^2=1\right\} (munido da topologia produto). Define-se a ação do grupo topológico S^1 em S^n tal que z\cdot (u_1, \ldots , u_k ) = (zu_1, \ldots , zu_n)\in S^n .

E, assim, fica fácil de ver que H: S^n\times I\to S^n , onde H(z,t) = e^{t\pi i}\cdot z é uma homotopia entre a aplicação antípoda e a aplicação identidade.

CQD

É interessante observar que a propriedade acima vale apenas para n ímpar. No sentido de que, se n é par, então a aplicação antípoda não é homotópica à aplicação identidade. Ou seja, n é ímpar se, e somente se, a aplicação identidade id : S^n\to S^n é homotópica à aplicação antípoda. No entanto, não será utilizado na demonstração esse fato: só será utilizada a afirmação 2 .

Teorema 2 (Brouwer no plano): Se f: B^2\to B^2 é uma aplicação contínua, então f possui ponto fixo.

Demonstração: Com efeito, supõe-se que existe f: B^2\to B^2 contínua que não admita pontos fixos. Disso, segue que pode-se definir G: B^2\to S^{1} tal que \displaystyle G(x) = \frac{ f(x)-x}{\left| f(x)-x\right| } . E é fácil ver que g é contínua e não possui pontos fixos. E, da mesma forma, g=G|_{S^1} é contínua e não possui pontos fixos.

Logo segue que g é homotópico à aplicação antípoda (por não possui pontos fixos). E, pela afirmação 2, segue que g é homotópico à aplicação identidade. Como S^1 não é contrátil, a aplicação identidade não é homotópica a nenhuma aplicação constante. Logo g não é homotópico a nenhuma aplicação constante e, portanto, não possui extensão contínua em B^2 : absurdo, pois G seria essa extensão.

CQD

Como foi dito anteoriormente, as demonstrações do ponto fixo de Brouwer em dimensão n+1 exigem que seja demonstrado o fato de que S^{n} não é contrátil. Para provar isso no caso geral, há algumas formas. Por exemplo, usando homotopia ou usando homologia. Usando homologia prova-se que S^{n} não é retrato de B^{n+1} (e, como foi comentado, isso é equivalente a dizer que S^n não é contrátil). Usando grupos de homotopia, no caso em que n>1 , complica um pouco. Isso porque não podemos usar argumento igual ao de n=1 , pois, para n> 1 , o grupo fundamental de S^n é trivial. Portanto é possível usar grupo fundamental para o caso geral.

Tem-se que grupos de homotopia são, também, invariantes por tipo de homotopia (isso será comentado em um outro post), logo, mostrando que que algum grupo de homotopia S^n não é trivial, fica demonstrado que S^n não tem o mesmo tipo de homotopia que um ponto (não é contrátil). Mas, na verdade, tem-se que \pi _ n(S^n) não é trivial, portanto mostrar isso seria um jeito de usar homotopia para provar que S^n não é contrátil. A prova desses fatos serão adiados para um outro post.

Assumindo o fato de que S^n não é contrátil para todo n natural, vê-se que o argumento do teorema anterior prova o teorema do ponto fixo de Brouwer para o caso de dimensão par (dimensão da bola fechada).

Segue o enunciado e a demonstração do teorema do ponto fixo de Brouwer para o dimensão n qualquer. Será fácil de perceber que o argumento usado é geral e engloba inclusive os casos de dimensão 1 e 2 já demonstrados.

Teorema 3 (Teorema do Ponto Fixo de Brouwer):

Se f: B^{n+1}\to B^{n+1} é uma aplicação contínua, então f possui ponto fixo.

Demonstração: Com efeito, supõe-se por absurdo que existe uma aplicação contínua f: B^{n+1}\to B^{n+1} contínua que não admita pontos fixos. Define-se, então, G: B^{n+1}\to S^n , onde G(x) é o ponto de S^n tal que a semi-reta que liga f(x) a x tem interseção. Isso é ilustrado na figura. Fazendo as contas para G(x) (pode usar produto interno para ficar direto), fica fácil notar que G é contínuo.

Logo G seria uma retração. Como S^n não é retrato de B^{n+1} , segue o absurdo.

Portanto existe c\in B^{n+1} tal que f(c) = c .

CQD