Grupo Fundamental de Grupos Topológicos

junho 30, 2010

Uma das características interessantes do functor grupo fundamental é que nem todo espaço topológico possui grupo fundamental abeliano. Por exemplo, todas superfícies compactas de gênero maior ou igual a 2 possuem grupo fundamental não abeliano.

Vou mostrar, neste post, que todos grupos fundamentais de um grupo topológico são isomorfos. Além disso, vou provar qu eles são abelianos. Isso tem algumas implicações interessantes. Por exemplo, se um espaço topológico X possui grupos fundamentais não-abelianos, segue que X não admite uma estrutura de grupo que o torne um grupo topológico.

Teorema 1: Seja G um grupo topológico. Todos grupos fundamentais de G são isomorfos entre si.

Demonstração 1: Com efeito, se os pontos base de dois grupos fundamentais estiverem na mesma componente conexa por caminhos, segue que eles são isomorfos. Caso contrário, é fácil ver que \pi _1 (G, x) = \pi _1 (H,x) quando H é a componente conexa por caminhos de x (isso é bem tranqüilo de provar, mas talvez eu comente (ou demonstre) em algum post).  Como todas componentes conexas por caminhos num grupo topológico são homeomorfas entre si, segue que elas têm o mesmo grupo fundamental.

CQD


Sejam G um grupo topológico e i\in G seu elemento neutro. Toma-se a componente conexa por caminhos do elemento neutro H\leq G (que é um subgrupo topológico). Será provado que H possui grupo fundamental abeliano.

Define-se no grupo fundamental \pi _1 (H, i) uma outra operação. Dados \alpha = \left[ a\right], \beta = \left[ b\right]\in\pi _1 (H,i) (onde a,b:I\to H são caminhos com base i ), define-se \alpha\bullet\beta = \left[ \alpha\cdot\beta\right] , onde \alpha\cdot\beta :I\to H , com \alpha\cdot\beta(s) = a(s)\cdot b(s) (aqui, \cdot denota a operação no grupo H ). Resta provar que a operação \bullet está bem definida.

Primeiramente, prova-se que \alpha\cdot\beta é, de fato, um caminho com base em i . Com efeito, tem-se que \alpha\cdot\beta = m\circ (\alpha , \beta ) , ou seja, \alpha\cdot\beta é composição de aplicações contínuas e, portanto, é contínua. Além disso, tem-se que \alpha (0)\cdot\beta (0) = i\cdot i = i = i\cdot i =\alpha (1)\cdot\beta (1) . Portanto, de fato, \left[ \alpha\cdot\beta\right]\in \pi _1 (H,i) . Resta provar que a definição não apresenta ambigüidade. Dados \alpha = \left[ a_1\right] = \left[ a_2\right], \beta = \left[ b_1\right] =\left[b_2\right] no grupo fundamental \pi _1(H,i) , segue que existem homotopias H: a_1\cong a_2 e L: b_1\cong b_2 relativas ao ponto i . Logo é fácil de verificar queG: I\times I\to H tal que G(s,t) = H(s,t)\cdot L(s,t) é uma homotopia entre a_1\cdot b_1 e a_2\cdot b_2 relativa ao ponto i . Isso provou que \left[ a_1\cdot b_1\right] = \left[ a_2\cdot b_2\right] . E, portanto, isso completou a prova de que a operação \bullet está bem definida.

Teorema 2: Seja G um grupo topológico. Todos grupos fundamentais de G são abelianos. Além disso, o produto acima definido coincide com a operação usual no grupo fundamental.

Demonstração: Com efeito, pelo provado no teorema 1, basta provar que o grupo fundamental da componente conexa por caminhos do elemento neutro i\in G é abeliano. Sejam H essa componente conexa por caminhos e e_i\in\pi _ i (H,i) o caminho constante. Dados \left[ a\right] , \left[ b\right]\in \pi _i (H,i) , é fácil verificar que

\left[ a\right] \left[ b\right] =\left[ ab\right] = \left[ ae_i\cdot e_ib\right] =

\left[ ae_i\right]\bullet\left[ e_ib\right] = \left[ a\right]\bullet\left[b\right] =

\left[ e_ia\right]\bullet \left[ be_i\right] = \left[ e_ia\cdot be_i\right] =

\left[ ba\right] = \left[ b\right] \left[a\right]

Isso provou as duas afirmações do teorema.

CQD

Com esse teorema, podemos, por exemplo, concluir que, para n\geq 2 , um n – toro não admite estrura de grupo que o torne um grupo topológico. Além disso, é com esse teorema que vou provar, futuramente, que se n\geq 2 , o n-ésimo grupo de homotopia de um espaço é necessariamente abeliano. Ou seja, dentre os grupos de homotopia, só o grupo fundamental pode não ser abeliano!!!

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Espaços Contráteis

junho 28, 2010

Este post apresenta alguns comentários soltos sobre Espaços Contráteis e algumas relações desses comentários com o que já foi feito em outros posts. Um espaço contrátil é um espaço topológico que tem o mesmo tipo de homotopia de um ponto.  Uma caracterização de espaço contrátil é: “Um espaço topológico X é contrátil se, e somente se, a aplicação identidade Id:X\to X é homotópica a alguma aplicação constante”. Neste post, vou apresentar uma pequena variação dessa caracterização. Ambas caracterizações são usadas no post sobre teorema do ponto fixo de Brouwer, no entanto, a segunda não é assumida (é provada no contexto da demonstração do lema 1).

Seja X um espaço topológico. Uma involução (contínua) em X é uma aplicação contínua bijetiva T:X\to X cuja inversa é a própria T . Ou seja, T\circ T = Id . Evidente que, nesse caso, toda involução é um homeomorfismo. Um exemplo trivial de involução é a aplicação identidade.

Proposição 1: Sejam X um espaço topológico qualquer e T:X\to X uma involução qualquer. X é contrátil se, e somente se, T é homotópica a uma aplicação constante.

Demonstração: Com efeito, se X é contrátil, segue que o conjunto das classes de homotopia

\left[ X, X\right] é unitário. E, portanto, todas aplicações são homotópicas entre si. Em particular, T é homotópica a alguma aplicação constante. Reciprocamente, se T é homotópico a uma aplicação constante, segue que Id= T\circ T é homotópico a uma aplicação constante. Seja k: X\to X , k(x) = p essa aplicação constante homotópica a Id . Segue, então, que f: X\to \left\{ p\right\} e

g: \left\{ p\right\}\to X são equivalências homotópicas, afinal Id_{\left\{ p\right\} } = f\circ g : \left\{ p\right\}\to\left\{ p\right\} . E g\circ f = k é homotópico à aplicação identidade em X . Logo, de fato, X é contrátil.

CQD

Note que, na demonstração e no enunciado da proposição, está incluida a primeira caraterização enunciada nesse post. Além disso, assumindo que S^n não é contrátil (coisa que ainda vou demonstrar), essa proposição implica que a aplicação antípoda \alpha : S^n\to S^n (que é uma involução) não é homotópica a nenhuma aplicação constante. E, então, disso e do resultado apresentado no post, segue diretamente o seguinte o lema 1 do post sobre ponto fixo de Brouwer enunciado abaixo como “lema de Brouwer” (por ser intimamente ligado com o teorema do ponto fixo de Brouwer):

Lema de Brouwer: Se f: S^n\to S^n é uma aplicação contínua homotópica a uma aplicação constante, então f possui pontos fixos.

Demonstração: Bom, segue dos comentários que, por f ser homotópico a uma aplicação constante, f não é homotópico à aplicação antípoda \alpha . E, portanto, f possui pontos fixos.

CQD

Mas, como eu comentei anteriormente, esse lema poderia ser ainda mais forte. Como S^n não é contrátil, tem-se, pelo provado, que qualquer involução (em particular, a identidade) em S^n não é homotópica a uma constante. E, portanto, tem-se o seguinte lema.

Lema 3: Se f: S^n\to S^n é homotópico a uma aplicação constante, então existem x,y\in S^n tais que f(x) = x e f(y)=-y .

Demonstração: A existência do ponto fixo x está provada no lema de Brouwer. Como f é homotópico a uma aplicação constante, segue que não é homotópico à aplicação identidade. Logo existe y\in S^n tal que f(y)= -y .

CQD

Voltando aos comentários sobre espaços contráteis, seguem alguns resultados elementares (e bem importantes) sobre classes de homotopia e espaços contráteis.

Proposição 4: Sejam X um espaço contrátil e Y um espaço topológico qualquer. Segue que toda aplicação contínua f: X\to Y é homotópica a alguma aplicação constante. E, por outro lado, toda aplicação contínua g:Y\to X é homotópica a qualquer aplicação constante.

Demonstração: Seja k: X\to X uma aplicação constante homotópica à aplicação identidade em X . Dada f: X\to Y contínua, segue que f\circ k é homotópico à f\circ Id = f . Como f\circ k é constante, ficou provado que f é homotópico a uma aplicação constante.

Por outro lado, tem-se que a família das classes de homotopia \left[ Y, X\right] tem a mesma cardinalidade que \left[ Y, \left\{ p\right\} \right] . Como a última família tem carinalidade evidentemente igual a 1 , segue que \left[ Y, X\right] tem cardinalidade 1 . E, portanto, todas as aplicações Y\to X são homotópicas entre si. Em particular, qualquer aplicação contínua é homotópica a qualquer aplicação constante.

CQD

Desse simples resultado, segue uma generalização do lema sobre extensão.

Lema 5: Sejam X um espaço topológico contrátil, A\subset X e f:A\to Y uma aplicação contínua. Se existe uma extensão contínua F: X\to Y de f , então f é homotópico a uma aplicação constante.

Demonstração: Com efeito, tem-se, pela proposição 4, que a inclusão i: A\to X é homotópica a uma aplicação constante k : A\to X . Logo F\circ i = f é homotópica à F\circ k (que é constante).

CQD

Como todo convexo é contrátil, isso, da fato, generaliza o lema sobre extensão.


Ponto Fixo de Brouwer, 2ª demonstração

junho 22, 2010

Houve um deslize estranho meu no post sobre Borsuk-Ulam. A demonstração de um dos lemas estava totalmente deslocada. Então o post e a demonstração estão sendo reformados. Enquanto isso, surgiu uma idéia para uma nova demonstração do teorema do ponto fixo de Brouwer. Ela não tem a construção bonita da demonstração do teorema 3 do post. Mas achei essa demonstração bonita por ser mais clara e, principalmente, direta.

De novo, vou assumir que S^n não é contrátil (e novamente vou adiar a demonstração disso para outro post).

Lema 1: Toda aplicação contínua f: S^n\to S^n homotópica a uma aplicação constante possui ponto fixo.

Demonstração: Caso, por absurdo, existisse uma aplicação contínua f: S^n\to S^n homotópica a uma constante e sem pontos fixos, então a aplicação antípoda \alpha :S^n\to S^n seria homotópica à f , ou seja, \alpha seria homotópica a uma constante. Logo \alpha\circ \alpha =Id seria homotópica a uma constante. Absurdo. Pois S^n não é contrátil.

CQD

Teorema 2 (Teorema do Ponto Fixo de Brouwer): Toda aplicação contínua f: B^{n+1}\to B^{n+1} possui ponto fixo.

Demonstração: Com efeito, supõe-se que existe f: B^{n+1}\to B^{n+1} sem pontos fixos. Constrói-se, então, G: B^{n+1}\to S^{n} onde \displaystyle G(x) = \frac{ f(x)-x }{\left| f(x)-x\right| } .

É fácil notar que G não possui pontos fixos. Mas g = G|_{S^n} possui extensão contínua G . Logo, pelo lema sobre extensão, segue que g é homotópica a uma aplicação constante e, então, pelo lema 1, segue que g possui pontos fixos. Absurdo.

CQD


Aplicações homotópicas em S^n

junho 21, 2010

Sejam S^n a esfera de dimensão n e X um espaço topológico qualquer. Algumas coisas são fáceis de deduzir sobre classes de homotopia de aplicações contínuas f,g :X\to S^n . Aqui, neste post, será apresentado um resultado de natureza elementar e algumas conseqüências imediatas. Esse primeiro resultado (e algumas de suas conseqüências) foi assumido na maioria dos posts que trabalharam com S^n (por exemplo, ponto fixo de Brouwer 2 e ponto fixo de Brouwer 1).

Teorema 1: Sejam f,g: X\to S^n aplicações contínuas. Se f(x)\neq -g(x) para todo x\in S^n , segue que f e g são aplicações homotópicas.

Demonstração: Com efeito, basta construir a homotopia

H: X\times I\to S^n , onde \displaystyle H(x,t) = \frac{tf(x) + (1-t)g(x)}{ \left| tf(x) + (1-t)g(x)\right| } .

Note que, de fato, H está bem definida, afinal o “denominador” nunca se anula. Além disso, é evidente que H é contínua e, portanto, que H é uma homotopia.

CQD

Seguem algumas conseqüências imediatas.

Conseqüência 1.0: Toda aplicação contínua não sobrejetiva f:X\to S^n é homotópica a uma aplicação constante.

Dem.: Com efeito, toma-se k\in S^n tal que f(x)\neq k para todo x\in X . Logo a aplicação constante igual -k é homotópica a f .

Conseqüência 1.1: Toda aplicação contínua f:S^n\to S^n tal que f(x)\neq -x para todo x\in S^n é homotópica à aplicação identidade.


Conseqüência 1.2: Toda aplicação contínua f: S^n\to S^n que não possua pontos fixos é homotópica à aplicação antípoda.


Do teorema 1 associado à afirmação 2 do post do ponto fixo de Brouwer seguem as seguintes conseqüências.

Conseqüência 1.3: Se n é ímpar, toda aplicação contínua f:S^n\to  S^n tal que f(x)\neq -x para todo x\in S^n é homotópica à aplicação antípoda.


Conseqüência 1.4: Se n é ímpar, toda aplicação contínua f: S^n\to S^n que não possua pontos fixos é homotópica à aplicação identidade.


De forma mais geral, para n ímpar, tem-se o seguinte teorema.

Teorema 2: Se n é ímpar e as aplicações contínuas f,g : X\to S^n não são homotópicas, então f e g possuem pontos antípodas e possuem pontos coincidentes.

Demonstração: O teorema 1 já diz que f,g: X\to S^n não homotópicas implica f,g possuem pontos antípodas.

Por outro lado, se f e g são tais que g(x)\neq f(x) para todo x\in X , seja \alpha : S^n\to S^n a aplicação antípoda, segue que \alpha\circ g\simeq Id\circ g = g , pois Id\simeq\alpha . Como g(x)\neq f(x) para todo x\in X , segue que \alpha\circ g(x)\neq -f(x) para todo x\in X . Disso segue, pelo teorema 1, que f\simeq\alpha\circ g\simeq g .

CQD


Lema Sobre Extensão

junho 2, 2010

Aqui, será provado um teorema básico sobre extensão de funções contínuas definidas na esfera, para a bola fechada toda. O teorema mais geral sobre esse tipo de extensão é provado no post sobre Compactos Convexos. Aqui, será apresentado apenas o teorema básico para futuras referências.

Sejam X,Y espaços topológicos e A\subset X . Uma função contínua F: X\to Y é uma extensão contínua da aplicação contínua f: A\to Y , se F|_A = f .

O teorema que será provado diz que uma aplicação f: S^n\to X , onde X é um espaço topológico qualquer, possui uma extensão contínua F: B^{n+1}\to X se, e somente se, f é homotópico a uma aplicação constante. Um dos sentidos do teorema sobre extensão é trivial. Existem duas formas de verificar isso. Evitando a linguagem de categorias (com essa linguagem consegue-se mostrar (de forma direta) uma forma que generaliza (e trivializa) essa condição necessária para haver uma extensão), eu consegui uma demonstração rápida desse fato (que vou enunciar, abaixo, como lema).

Lema 1.: Sejam E um espaço vetorial normado, K\subset E um convexo, A\subset K um subconjunto não vazio e X um espaço topológico. Se f: A\to X é contínua, então uma condição necessária para que f tenha extensão contínua em K é que f seja homotópica a uma aplicação constante.

Demonstração: Se f^*: K\to X é uma extensão contínua, então, tomando a inclusão i: A\to K , segue que f^*\circ  i = f . Mas, como K é convexo (e, em particular, contrátil), tem-se que i é homotópico a uma aplicação constante t:  A\to K . Disso segue que f é homotópico a f^*\circ t (que é constante).

CQD

Abaixo segue o teorema central deste post. Este teorema é utilizado na maioria dos posts sobre topologia. Em particular, o teorema do ponto fixo de Brouwer.

Teorema 2.: Seja X um espaço topológico. Uma aplicação contínua f: S^n\to X possui uma extensão F :  B^{n+1}\to X contínua se, e somente se, f é homotópico a uma aplicação constante.

Demonstração: Com efeito, se f: S^n\to X possui extensão, segue, pelo lema 1, que f é homotópico a uma aplicação constante. Reciprocamente, se f é homotópico a uma constante, segue que existe uma homotopia L: f\cong k , onde k: S^n\to X é uma aplicação constante. Define-se a aplicação sobrejetiva

\varphi : S^n\times\left[ 0,1\right]\to B^{n+1} , onde \varphi (x,t) = (1-t)x . Essa aplicação tem domínio compacto e contra-domínio Hausdorff, logo é fechada (e, portanto, é aplicação quociente). Observe que, dados \varphi (x_1,t_1) =\varphi (x_2,  t_2) , ou (x_1,t_1) = (x_2,t_2) , ou então t_1 = t_2 = 1  . E, portanto, em ambos os casos L(\varphi (x_1,t_1) ) = L(  \varphi (x_2 ,t_2) ) . Portanto, dado y\in B^{n+1} , y possui uma imagem inversa \varphi ^{-1} (y) e, tomando (x,t)\in \varphi ^{-1} (y) qualquer, podemos definir F:  B^{n+1}\to X como sendo F(y) = L(x,t) (pelo observado, segue que isso está bem definido). Note que F\circ \varphi = L .

Como \varphi é aplicação quociente, o fato de F\circ  \varphi = L ser contínua implica que F é contínua. E, para completar, é fácil verficar que F|_{S^n} = f .

CQD


Homotopia de (alguns) Grupos de Matrizes

março 5, 2010

Esse post foi motivado por um exercício de um livro sobre “Grupo Fundamental”.

O objetivo é mostrar que GL^+(n) , SL(n) e SO(n) possuem o mesmo tipo de homotopia; onde GL^+(n) é o grupo das matrizes (com entradas reais) com determinante positivo, SL(n) é o grupo linear especial (determinante 1) e SO(n) é o grupo das matrizes ortogonais com determinante positivo.

Denota-se X\equiv Y quando o espaço topológico X possui o mesmo tipo de homotopia do espaço Y . E denota-se f\approx g quando f e g são aplicações contínuas homotópicas. Nesse caso, a homotopia entre f e g é denotada por H: f\approx g .

Um espaço é contrátil quando ele possui o mesmo tipo de homotopia de um ponto.

Proposição 1: Um espaço topológico é contrátil se, e somente se, a aplicação identidade é homotópica a uma aplicação constante.

Demonstração: Se X é contrátil, sejam f: X\to\left\{ p\right\} uma equivalência homotópica e g:\left\{ p\right\} \to X sua inversa homotópica. Note que g\circ f é constante. E, por hipótese, (g\circ f)\approx Id_X .

Reciprocamente, seja k : X\to X uma aplicação constante homotópica à identidade. Supõe-se k(x) = p . Tem-se que f: X\to\left\{p\right\} é uma equivalência homotópica. Com efeito,

(g\circ f) =k\approx Id_X e (f\circ g) = Id_{\left\{ p\right\} }, onde g é a aplicação de inclusão g: \left\{ p\right\}\to X .

CQD


Proposição 2: Sejam X,Y espaços topológicos. Se X é contrátil, então X\times Y e Y possuem o mesmo tipo de homotopia.

Demonstração: Com efeito, seja H: Id_X\approx k uma homotopia entre a aplicação identidade em X e uma aplicação constante k: X\to X , k(x)=p .

Y é homemorfo a \left\{ p\right\}\times Y . Então basta provar que \left\{ p\right\}\times Y tem o mesmo tipo de homotopia que X\times Y . Define-se

f: X\times Y \to \left\{ p\right\}\times Y , f(x,y) = (p,y)

g: \left\{ p\right\}\times Y \to X\times Y , g(p,y) = (p,y) .

Note que (f\circ g)=Id_{\left\{ p\right\} } . Resta provar que (g\circ f)\approx Id_{(X\times Y)} .

Com efeito, define-se L: (X\times Y)\times I\to ( X\times Y) , onde L((x,y),t) = (H(x,t), y) . Note que, de fato, isso é uma homotopia entre Id_{X\times Y} e (g\circ f) = k\times Id_Y .

CQD


Proposição 3: Sejam E um espaço vetorial normado. Todo subconjunto convexo de E é contrátil. Em particular, todo espaço vetorial normado é contrátil.

Demonstração: Com efeito, seja C\subset E um subconjunto convexo. Escolhe-se p\in C . Tem-se que H: C\times I \to C , onde H(x,t)= \left| tx + (1-t) p\right| é uma homotopia entre a a aplicação constante em p e a identidade.

Logo, pela proposição 1, tem-se que C é contrátil. Isso completou a prova de que conjuntos convexos são contráteis.

Em particular, todo espaço vetorial normado é convexo. Logo é contrátil.

CQD


Proposição 4: SL(n)\equiv GL^+(n) \equiv SO(n) .

Demonstração: Com efeito, define-se f: GL^+(n)\to SL(n)\times\mathbb{R}^+ , onde \displaystyle f(h)= \left( \left( \frac{1}{ \sqrt[n]{det (h)} } \right) h, det (h)\right) .

Note que f é contínua. Além disso, g: SL(n)\times\mathbb{R}^+\to GL^+(n) , com g(h, r) = \left( \sqrt[n]{r}\right) \cdot h , é a inversa de f (e é obviamente contínua). Logo f é um homeomorfismo. Em particular,  SL(n)\times \mathbb{R}^+\equiv GL^+(n) .

Como \mathbb{R}^+ é contrátil (por ser um subconjunto convexo de um espaço vetorial normado), segue, pela proposição 2, que

SL(n)\equiv SL(n)\times \mathbb{R}^+\equiv GL^+(n) .

Para provar a segunda equivalência, definem-se

D: GL^+(n)\to P\times SO(n) , D(g)=(p,u) ,

onde P é o conjunto das matrizes positivas defnidas, e g=pu é a decomposição polar de g . Como \forall g\in GL^+(n) , g é inversível, segue que a decomposição é única. Além disso, o determinante de g\in GL^+(n) é positivo, o que implica que a matriz orotogonal u da decomposição polar está em SO(n) . Portanto D está bem definida.

Tem-se que

D_1 : GL^+(n)\to P , D_1(g)= \sqrt {gg^T}

D_2: GL^+(n)\to SO(n) , D_2(g) = \left( \sqrt{gg^T}\right) ^{-1} g .

Note que D_1 e D_2 são contínuas (são composições de aplicações contínuas). Portanto D é contínua.

Além disso, é fácil verificar que D é bijetiva. De fato, dados D(g)=D(h)=(p,u)\in D(GL^+(n) ) , segue que  g=h=pu . Isso provou a injetividade. Por outro lado, dado (p,u)\in P\times SO(n) , tem-se que p e u tem determinantes positivos, logo pu=g\in GL^+(n) . E, pela unicidade da decomposição polar, tem-se que D(g)=(p,u) . Isso provou a sobrejetividade.

Note que a inversa D^{-1}: SO(n)\times P\to GL^+(n) é o produto de matrizes e, então, contínua. Portanto D é um homeomorfismo. Em particular, SO(n)\times P tem o mesmo tipo de homotopia que GL^+(n) .

Temos que P é convexo. Afinal, dados p,q\in P e t\in\left[ 0,1\right] , tem-se que

tp + (1-t)q é simétrica. Além disso, dado v\in\mathbb{R}^n , tem-se que

v^T(tp+(1-t)q)v= t(v^Tpv) + (1-t)(v^Tqv)

E, como (v^Tpv)>0 , (v^Tqv)>0 , t>0 e (1-t)>0 , segue que

v^T(tp+(1-t)q)v= t(v^Tpv) + (1-t)(v^Tqv)>0

Isso provou que tp+(1-t)q\in P . E, portanto, completa a prova de que P é convexo.

Tem-se, então, que P é contrátil. Pelo provado, então, tem-se que

SL(n)\equiv GL^+(n)\equiv P\times SO(n)\equiv SO(n)

CQD