Conjunto de Cantor

julho 4, 2010

Neste post, vou fazer uma exposição breve sobre o conjunto de Cantor (sob uma perspectiva que eu adotei). Este post usará as considerações do post. Aqui, vou definir o espaço/conjunto de Cantor como sendo o prodtuo de espaços topológicos discretos K = \left\{ 0,2\right\} ^\mathbb{N} .

Tem-se, pelo teorema de Tychonoff, que K é compacto. Além disso, pelas considerações do post, segue que K é homeomorfo a K^n (qualquer que seja o n\in\mathbb{N} ) e, também, é homemorfo a K ^\mathbb{N} .

O conjunto de Cantor é originalmente construído na reta. Aqui, vou definir conjunto de Cantor na reta como sendo qualquer imersão topológica do espaço K na reta. Ou seja, se f:K\to\mathbb{R} é um homeomorfismo sobre sua imagem, f(K) será chamado de um conjunto de Cantor.

Uma observação óbvia é que, por K ser compacto, tem-se que toda injeção contínua f:K\to\mathbb{R} é uma imersão topológica (pois f: K\to f(K) seria uma bijeção contínua de um compacto num Hausdorff (portanto um homeomorfismo)).

Seguindo essa definição de conjunto de Cantor na reta, um exemplo de conjunto de Cantor na reta é construído no post sobre curvas de Peano.

Teorema 1: Seja K=\left\{ 0,2\right\} ^\mathbb{N} o espaço/conjunto de Cantor. Tem-se que K é compacto, totalmente desconexo, não possui pontos isolados e é não-enumerável.

Demonstração: Pelo teorema de Tychonoff, como \left\{ 0,2\right\} é evidentemente compacto, segue que o produto K = \left\{ 0,2\right\} ^\mathbb{N} é compacto.

Além disso, é fácil verificar que K é não-enumerável: com, por exemplo, argumento da diagonal de Cantor. Mas, para fazer uma verificação rápida desse fato, é fácil construir uma bijeção de K com o conjunto das partes de \mathbb{N} (de fato, a cada subconjunto de N , associa-se a sua “função característica”). Como o conjunto das partes de \mathbb{N} não é enumerável, segue que K não é enumerável.

Pela própria definição da topologia produto, não há como K possui pontos isolados. De fato, todo aberto de K deve ter uma projeção em \left\{ 0,2\right\} cuja imagem é o espaço \left\{ 0,2\right\} todo (pela definição da topologia produto). Logo, dados (x_1 , \ldots , x_n , \ldots )\in K e uma vizinhança aberta U\subset K desse ponto, segue que existe k\in\mathbb{N} tal que p_k (U) = \left\{ 0,2\right\} . Mas isso quer implica que (x_1, \ldots , x_k' , \ldots )\in U , onde x_k' \neq x_k . Isso, então, provou que todos pontos de K são não isolados.

Para encerrar a demonstração, prova-se que K é totalmente desconexo (ou seja, as componentes conexas de K são unitárias). Com efeito, dada uma componente conexa C\subset K , segue que as imagens de C pelas projeções devem ser conexas. Mas as únicas componentes conexas de \left\{ 0,2\right\} são os pontos. Então, para todo j\in\mathbb{N} , p_j (C) é unitário. E, portanto, C é unitário. E isso, então, completa a prova de que K é totalmente desconexo.

CQD

Seguem as propriedades conhecidas do conjunto de Cantor na Reta. Abaixo, estão enunciadas e provadas.

Corolário 1.1: Seja C\subset\mathbb{R} um conjunto de Cantor. Segue que C é compacto, tem interior vazio, não contém pontos isolados e é não-enumerável.

Demonstração: Com efeito, pela definição, tem-se que C é homemorfo a K = \left\{ 0,2\right\} ^\mathbb{N} . Logo, pelo teorema 1, tem-se que C é compacto (portanto limitado e fechado), é não enumerável e não contém pontos isolados.

Além disso, tem-se que C é totalmente desconexo. Em particular, todos subconjuntos conexos de C são unitários. Disse segue que C não contém intervalos e, portanto, possui interior vazio.

CQD

Aqui, o post ficaria completo. Foram definidos os conjuntos de Cantor. Além disso, este último corolário mostrou que os conjuntos de Cantor na reta possuem as propriedades interessantes esperadas do conjunto de Cantor. Mas, antes de encerrar o post, será provado que o conjunto de Cantor usual (como, por exemplo, é definido nos livros livros de análise) é um conjunto de Cantor segundo a definição deste post.

Não vou colocar, aqui, a definição usual. Muito menos discutí-la em detalhes. Acho que tem lugares onde isso pode ser encontrado (como wikipedia ). Denotemos por A o esse conjunto de Cantor usual. Uma das observações interessantes de se fazer é que o conjunto A é construído de tal forma que seus números na base 3 sejam escritos com os algarismos 0 e 2 somente. Na primeira etapa, tira-se o conjunto dos números, onde 0, x_1x_2\ldots na base 3 tem x_1 = 1 . Na etapa 2 , tiram-se os números 0, x_1x_2x_3x_4\ldots onde x_2=1 na base 3 .

No final da construção, o conjunto A fica sendo o conjunto dos pontos 0,x_1x_2x_3x_4\ldots tais que podem ser escritos na base 3 apenas com os algarismos 0 e 2 .

Define-se no conjunto de Cantor K a métrica \displaystyle d(x,y) =\sum _{i=1}^\infty \frac{\left| x_i -y_i\right| }{3^i} . E, então, define-se a aplicação \alpha : K\to A , onde \alpha (x) = d(x,0) .  Pelas considerações acima, segue que isso está bem definido e é uma sobrejeção. Além disso, \alpha é contínua e é fácil verificar que \alpha é injetiva. Portanto \alpha é uma bijeção contínua.

Como K é compacto e A é Hausdorff, segue que \alpha é um homeomorfismo. Portanto, de fato, A é um conjunto de Cantor.

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Homeomorfismo do Produto

julho 2, 2010

O que vou expor aqui está intimamente ligado com o post sobre Conjunto de Cantor e com o post sobre Curvas de Peano (que serão feitos nos próximos dias). O post será breve: apenas para expor um resultado simples. Antes de falar de produto de espaços topológicos, é importante relembrar a definição de topologia produto. E, para isso, há um post muito bem escrito pelo André.

Aqui, vou fazer apenas uma discussão breve sobre uma propriedade da topologia produto. A pergunta é: “Quando um espaço topológico X é homeomorfo ao espaço X\times X ?” (Existem espaços que satisfazem isso (por exemplo, um ponto). E, como pode ser visto no post, o conjunto de Cantor satisfaz essa propriedade).

Seja X um espaço topológico. Se X é homeomorfo a X\times X , é fácil ver, fazendo uma indução óbvia, que X é homeomorfo a X^n (para qualquer n\in\mathbb{N} ). Isso seria, portanto, uma condição necessária.

Neste post, não me preocuparei em procurar uma condição “necessária e sufieciente”, vou apenas destacar uma condição suficiente. Uma condição suficiente para que X seja homeomorfo a X^n é que X seja homeomorfo a um produto Y^{\mathbb{N} } de um espaço topológico Y qualquer. Isso será enunciado e provado abaixo.

Lema 1: Sejam X, Y espaços topológicos. Se X é homeomorfo a Y^\mathbb{N} , segue que X é homeomorfo a X^{\mathbb{N}} e a X^n (para qualquer n\in\mathbb{N} ).

Demonstração: Com efeito, basta provar que Z=Y^\mathbb{N} é homeomorfo a Z\times Z e a Z^\mathbb{N} .  Define-se a aplicação

f: Z\to Z\times Z , onde f(x_1, \ldots , x_n , \ldots ) = ((x_1 , \ldots , x_{2n+1} ,\ldots ), (x_2,\ldots , x_{2n}, \ldots )) .

Ou seja, dada uma seqüência (x_n)\in Z =Y^{\mathbb{N} } , tomam-se as as subseqüências dos termos de índice ímpar (x_{2n-1}) e a subseqüência dos termos de índice par (x_{2n}) . E, então, define-se f((x_n)) =((x_{2n-1}), (x_{2n})) . É fácil de verificar que essa aplicação é bijetiva. E, usando as projeções, é fácil verificar que f é um homeomorfismo.

E, seja \displaystyle\mathbb{N} = \bigcup _{i=1}^\infty \mathbb{N}_i uma partição de \mathbb{N} em conjuntos infinitos \mathbb{N}_i .

De fato, bastava tomar, para i\neq 1 , o conjunto \mathbb{N}_i =\left\{ p_{i+1}^k:k\in\mathbb{N}\right\} , onde p_{i+1} é o (i+1) -ésimo primo. E, então, bastava fazer \mathbb{N}_1 = \mathbb{N} - \displaystyle\bigcup _{i=1}^\infty \mathbb{N}_i .

Define-se g: Z\to Z^{\mathbb{N}} , onde g( (x_n) ) = ((x_k)_{k\in\mathbb{N}_1}, \ldots , (x_k)_{k\in\mathbb{N}_n} , \ldots ) . E, de forma análoga, é fácil ver que g é uma bijeção e, também, é fácil verificar que g é um homeomorfismo.

CQD

E, para completar esse post, vou expor uma conseqüência óbvia.

Conseqüência: Seja X um espaço topológico. Para X ser homeomorfo a X^{ \mathbb{N}} é necessário e suficiente que X seja homeomorfo a algum produto de espaços topológicos Y^\mathbb{N} .


Lema Sobre Gráfico da Função

maio 3, 2010

Sejam X e Y espaços topológicos. Se f:X\to Y é uma função, o gráfico da função f é o conjunto G(f) = \left\{ (x,f(x)) : x\in X\right\} . A função f: X\to Y é contínua se, e somente se, a projeção \pi _X : G(f)\to X é um homemorfismo.

Demontração: Com efeito, tem-se que \pi _ X : G(f)\to X em todos os casos é uma aplicação bijetiva contínua. Se f: X\to Y é contínua, segue, evidentemente, que (\pi _ X)^{-1} : X\to G(f) é contínua “em cada coordenada” e, portanto, é contínua. Disso segue que \pi _ X é um homeomorfismo.

Reciprocamente, se \pi _ X é um homeomorfismo, segue que f= \pi_ Y\circ (\pi _X )^{-1} , onde

\pi _Y : G(f)\to Y é a projeção (e, portanto, evidentemente contínua). Disso segue que f é composição de aplicações contínuas e, portanto, é contínua. Isso completa a prova da recíproca do teorema.

CQD

O teorema do post anterior é conseqüência desse lema e de algumas observações. No teorema, a hipótese é de que G(f) seja compacto e o domínio X seja Hausdorff. Como \pi _ X : G(f)\to X é uma aplicação contínua e bijetiva. Segue que, por G(f) ser compacto e X ser Hausdorff, \pi _ X é um homeomorfismo. Portanto, pelo resultado deste post, segue que f: X\to Y é contínua.


Gráfico Compacto

abril 19, 2010

Em geral, quando o gráfico de uma função é compacto, não podemos dizer se a função é contínua. No entanto, quando o domínio é Hausdorff, o quadro muda. Nesse caso, a compacidade do gráfico da função já implica a continuidade da função. Isso é útil, por exemplo, para montar homotopias (quando estamos com espaços Hausdorff e sabemos que o gráfico é compacto, não precisaremos “gastar tempo” mostrando que a função é contínua).

Esse resultado é conseqüencia de um conhecido resultado sobre funções com domínio compacto e contra-domínio Hausdorff: “Sejam X Hausdorff e Z compacto. Se f: Z\to X é uma bijeção contínua, então f é um homeomorfismo.” (Para demonstrar esse resultado basta verificar que a aplicação é fechada. Afinal, dado um fechado F no domínio, tem-se que F é fechado de um compacto e, portanto, compacto. Logo a imagem é compacta. Mas, X é Hausdorff. Logo a imagem de F é fechada em X .)

Esse post é sobre um teorema interessante em topologia geral. Primeiramente, um lema trivial será provado.

Lema 1: Sejam X,Y espaços topológicos. Se f:X\to Y é contínua, X é homeomorfo ao gráfico de f .

Demonstração: Seja G(f) = \left\{ (x,f(x)) : x\in X\right\} o gráfico da função f . Basta ver que H: X\to G(f) , H(x)=(x,f(x)) é um homeomorfismo.

CQD

Teorema 2: Sejam Y um espaço topológico, X um espaço Hausdorff e f:X\to Y uma aplicação. G(f)=\left\{ (x,f(x)): x\in X \right\} é compacto se, e somente se, f é contínua e X é compacto.

Demonstração: Com efeito, se f é contínua e X é compacto, segue, pelo lema 1, que o gráfico G(f) é homeomorfo a X e, portanto, compacto.

Reciprocamente, seja G(f) compacto. Tem-se que a projeção \pi _X : G(f)\to X é uma bijeção contínua. Como X é Hausdorff  e G(f) é compacto, segue que é um homeomorfismo. Logo X é compacto. Além disso, como a projeção \pi _Y: G(f)\to Y é contínua , segue que f= ( \pi _Y\circ \pi _X ^{-1} ) é composição de aplicações contínuas e, portanto, contínua.

CQD

O post apresenta um lema que torna direta a demonstração deste post.


Restrições/Topologia induzida

abril 8, 2010

Alguns lemas sobre restrição de Domínio e de Contra-Domínio… Esse post tem a finalidade de deixar claro algumas coisas que eu falei com o Thiago.

Mas são coisas tranqüilinhas… Tentei colocar de certa forma detalhado…

Lema 1: Sejam X um espaço topológico e Y\subset X um subespaço. A aplicação i:Y\to X , i(x)=x é contínua.

Demonstração: Com efeito, dado A\subset Y aberto, segue que i^{-1}(A)= A\cap Y . Ou seja, i^{-1}(A) é um aberto (com a topologia de subespaço (induzida)).

CQD

Lema 2: Sejam X,Z   espaços topológicos e Y\subset X um subespaço. Se f: X\to Z é contínua, então f|_Y : Y\to Z é contínua.

Demonstração: Com efeito, basta ver que f |_Y = f\circ i , onde i:Y\to X é a inclusão.

CQD


Lema 3: Sejam X,Z   espaços topológicos. Se f:X\to Z é contínua, então \left( f^*\right) : X\to Im f , $latex\left(  f^*\right)(x)=f(x) $, é contínua (quando Im f \subset Z está munido da topologia induzida (de subespaço)).

Demonstração: Com efeito, dado um aberto A\subset Im f em Im f , segue que existe um aberto B\subset Z tal que A=B\cap Im f . Pela continuidade de f , segue que f^{-1} (B) é aberto em X .

Note que, então, que \left( f^*\right) ^{-1} (A)=f^{-1}(B\cap Im f) = f^{-1}(B)\cap f^{-1}(Im f) = f^{-1}(B)\cap X = f^{-1}(B) é aberto em X .

CQD


Conseqüência: Sejam X,Z   espaços topológicos. e A\subset X um subespaço Se f:X\to Z é um homeomorfismo, então f|_A: A\to Z é um homeomorfismo sobre f(A) (ou seja, g : A\to f(A) , g(x)= f(x) é um homeomorfismo ).

Demonstração: Com efeito, f|_A é contínua (pelo lema 2). Além disso, segue disso, pelo lema 3, que g : A\to f(A) , g(x)=f(x) , é contínua.

A inversa de g é a inversa de f restrita a f(A) e com o contra-domínio restrito à imagem A . Portanto, pelos lemas 2 e 3, ela é contínua.

Logo f é um homeomorfismo.

CQD

De fato, a conseqüência diz que homeomorfismos são, também, homeomorfismo das partes do domínio sobre suas imagens. É um fato um tanto trivial isso, mas muito importante. Por exemplo, acredito que tenha usado isso em Análise 1 (ou, pelo menos, usará em algum curso de análise 1 que fará por algum verão) no seguinte problema:

Provar que, dados a < b reais, \left[ a,b\right) não é homeomorfo a \left( a,b\right) .

Olha: é fácil provar que \left[ a,b\right] não é homemorfo a nenhum desses dois intervalinhos. Pois os dois intervalinhos não são compactos e \left[ a,b\right] é.

Mas os dois intervalinhos são conexos, não-compactos, etc… Enfim, a princípio, não temos uma propriedade topológica que distingue um do outro.

Um jeito que costumam provar que esses intervalinhos não são homeomorfos é vendo que, se existisse um homeomorfismo f: \left[ a,b\right)\to \left( a,b\right) , então existiria um homeomorfismo (com as restrições) g: \left( a,b\right)\to \left( a,b\right) - f(a) , g(x)=f(x) . No entanto, \left( a,b\right) é conexo e \left( a,b\right) - f(a) não o é. Absurdo. Logo os dois intervalos não são homeomorfos.

Esse raciocínio normalmente é reduzido por: “se tirássemos um ponto de \left( a,b\right) , ele necessariamente se tornaria desconexo. Enquanto podemos tirar a de \left[ a,b\right) e ele continuaria conexo. Logo eles não são homeomorfos.

Usando o mesmo tipo de raciocínio, provamos coisas mais divertidas… Por exemplo, que todo homeomorfismo do quadrado num círculo (bola fechada) leva os “lados” na circunferência. Mas essas coisas precisam de conceitos mais sofisticados…”



Topologia Compacto-Aberta

março 4, 2010

Já faz um bom tempo que estou devendo um post sobre esse assunto para o André. Ele me pediu isso há mais de um semestre. Nesse post, vou fazer uma exposição breve e limitada sobre o assunto. Pretendo colocar uma exposição mais detalhada sobre o assunto num post com título “Espaço de Funções”.

Seja F uma família de funções f:X\to Y . Tem-se que F\subset Y^X

A) A topologia da convergência pontual em F é a topologia de subespaço induzida por Y^X (onde Y^X é munido da topologia produto).

Observação 1: Nessa “notação”, tem-se que a topologia de convergência pontual é a menor topologia que torna

e_x : F\to Y , e_x (f) = f(x) contínua (para todo x\in X ) .

Observação 2: Quando F é uma família de funções f: X\to Y e está munido da topologia da convergência pontual, é de fácil verificação que: uma função g:W\to F é contínua se, e somente se, e_x\circ g é contínua para todo x\in X .

Observação 3: Seja F um espaço de funções f: Se latex Y $ é Hausdorff, F é Hausdorff.

B) A topologia compacto-aberta em F é a topologia gerada pela subbase formada pelos conjuntos W(K,U) com K\subset X é compacto e U\subset Y é aberto .

(obs.: W(K,U) = \left\{ f\in F : f(K)\subset U \right\} )

Observação 1: É fácil ver que topologia compacto aberta é maior que a topologia de convergência pontual.

Observação 2: Se Y é Hausdorff, F munido da topologia compacto-aberta é Hausdorff (afinal, a topologia compacto-aberta é maior que a topologia de convergência pontual).

Observação 3: Pela rigidez Hausdorff-Compacto, se Y é Haudorff e F munido da topologia compacto-aberta é compacto, então a topologia compacto-aberta coincide com a topologia da convergência pontual.

Teorema 1: Seja X um espaço localmente compacto Hausdorff. Se F\subset C(X; Y) está munido da topologia compacto-aberta, então

\displaystyle e: X\times F\to Y , onde e(x,f)=f(x) ,

é contínua.

Demonstração: Dados (y,g)\in X\times F e uma vizinhança V de g(y) , tem-se que existe uma vizinhança N (em X ) de y tal que g(N)\subset V . Como X é localmente compacto, segue que existe uma vizinhança U compacta de x tal que U\subset N .

E, portanto, f(U)\subset V .

Logo e(int U\times W(U,V) ) \subset V . Isso provou que e é contínua.

CQD

Teorema 2: Seja f:X\times Z \to Y uma função contínua. Segue que F: Z\to C(X;Y) , onde F(z)=f_z tal que f_z(x) = f(x,z) , é contínua (quando C(X; Y) está munido da topologia compacto-aberta).

A recíproca do teorema é verdadeira quando X é localmente compacto Hausdorff.

Demonstração: Com efeito, dados z\in Z e uma vizinhança W(K,U) de F(z) , tem-se

f(K\times\left\{ z\right\} )\subset U .

Pela continuidade de f , tem-se que f^{-1} (U) é aberto. Logo

T = (K\times Z )\cap f^{-1} (U)\supset K\times\left\{ z\right\}

é tal que f(T)\subset U .

Tem-se que T é aberto em K\times Z , logo existe uma vizinhança (aberta) V de z tal que f(K\times V )\subset U .
Portanto F(V) \subset W(K,U ) .

Isso procou que F é contínua.

Se X é Hausdorff localmente compacto e F: Z\to C(X;Y) é contínua, então

f=e\circ (Id_X\times F ): X\times Z \to Y ,

onde Id_ X é a identidade em X ,  e e: X\times C(X;Y)\to Y é a função valoração (que é contínua segundo o teorema anterior).

Disso segue que f é composição de aplicações contínuas e, portanto, é contínua.

CQD

Observação interessante: Note que, se duas aplicações contínuas f,g: X\to Y são homotópicas, então f e g estão na mesma componente conexa por caminhos no espaço C(X;Y) munido da topologia compacto-aberta (pelo teorema precendente).

E, pelo teorema precendente, a recíproca vale quando X é Hausdorff localmente compacto.


Ponto Fixo de Brouwer

março 4, 2010

Um espaço topológico X tem a “propriedade de ponto fixo” quando toda aplicação contínua f: X\to X possui ponto fixo. Os teoremas de Brouwer falam que certos subconjuntos de “certos” espaços vetoriais normados tem a propriedade de ponto fixo.

Note que isso os diferencia muito dos teoremas de ponto fixo de Banach. Os teoremas de Banach tomam por hipótese condições a mais sobre a função (além da continuidade) para garantir a existência do ponto fixo e, portanto, não diz nada sobre o espaço possuir propriedade do ponto fixo…

Afirmação 1: A propriedade do ponto fixo é uma propriedade topológica.

Demonstração: Com efeito, se X possui propriedade do ponto fixo e Y é homeomorfo a X , dada uma aplicação contínua f:X\to X , segue que \phi\circ f \circ \phi ^{-1} : Y\to Y , onde \phi : X\to Y é um homeomorfismo, é contínua. E, portanto, existe x\in X tal que \phi\circ f \circ \phi ^{-1} (x) = x . Isso quer dizer que f(\phi ^{-1} (x)) = \phi ^{-1} (x) . Ou seja, \phi ^{-1} (x)\in Y é ponto fixo de f . Isso completou a prova de que Y possui propriedade do ponto fixo.

CQD

Aqui, o objetivo é demonstrar algumas versões do teorema do ponto fixo de Brouwer. Note que, como a propriedade de ponto fixo é uma propriedade topológica, quando for provado que um espaço X possui propriedade de ponto fixo, segue que todo espaço homeomorfo a X também a tem. No caso, será provado que a bola fechada B^{n+1} possui propriedade de ponto fixo e, então, isso quer dizer que todos os espaços homeomorfos à bola fechada possuem propriedade do ponto fixo; como, por exemplo, os compactos convexos de interior não vazio de \mathbb{R} ^n .

O primeiro teorema será o caso trivial: o teorema o ponto fixo de Brouwer na reta. Para o teorema na reta, abaixo, serão apresentadas duas demonstrações.

Há uma interpretação geométrica fácil do teorema do ponto fixo de Brouwer na reta. Ele diz que não é possível “ligar” dois lados paralelos do quadrado por uma linha (contínua) sem intersectar a diagonal do quadrado.

Teorema 1 (Brouwer na Reta): Seja f: I\to I uma aplicação contínua, onde I\subset\mathbb{R} é um intervalo fechado. Segue que f possui ponto fixo.

Demonstração 1: Com efeito, seja I=\left[ a,b \right] , define-se \phi : I\to\mathbb{R} , onde \phi (x) = f(x)-x . Decidir se f possui ponto fixo se resume a decidir se \phi possui raiz. Como f(a)\geq a e f(b)\leq b , tem-se que \phi (a)\geq 0 e \phi (b)\leq 0 . Do teorema do valor intermediário, infere-se que existe c\in I tal que \phi (c) = 0 .

Disso segue que f(c)=c .

CQD

Demonstração 2: Com efeito, supõe-se por absurdo que existe f: \left[ -1,1\right]\to \left[ -1,1\right] contínua sem pontos fixos. Disso segue que pode-se definir G:\left[ -1,1\right]\to \left\{ -1,1\right\} , \displaystyle G(x) = \frac{ x-f(x)}{\left| f(x) - x\right|} . Por f ser contínua, segue que G é contínua.

Nota-se que  G(1) = 1 e G(-1) = -1 . Em particular, segue que G( \left[ 0,1\right] ) = \left\{ 0,1\right\} . Mas \left[ 0,1\right] é conexo e \left\{ 0,1\right\} não. Como G é contínua, isso constitui um absurdo.

Portanto existe c\in\left[ 0,1\right] tal que f(c) = c .

CQD

Sejam X um espaço topológico e A\subset X um subespaço. Uma aplicação r: X\to A que é extensão contínua da aplicação identidade id: A\to A é chamada de retração. Neste caso, se existe uma retração r: X\to A , A é chamado de retrato de X . Por exemplo, um ponto sempre é retrato do espaço que o contém.

Note que a demonstração 2 acima usou o fato de que um espaço a fronteira de um intervalo fechado não é retrato do espaço todo. Mais, geralmente, o argumento usou que um espaço conexo X não possui retratos desconexos: isso é óbvio do fato de que, se A é desconexo, não existe aplicação contínua r: X\to A sobrejetiva.

Os argumentos para demonstrar os teoremas de Brouwer nos casos mais gerais estão ligados com o fato de S^n não ser contrátil. Isso é equivalente a dizer que a identidade em S^n não é homotópica a nenhuma aplicação constante e, pelo teorema de extensão em S^n , isso é equivalente a dizer que S^n não é retrato de B^{n+1} .

A demonstração para o caso de dimensão 2 já exige que usemos o fato de S^1 não ser contrátil. Há algumas provas para esse fato:

Pode-se, por exemplo, ver que \pi _ 1 (S^1) = \mathbb{Z} e, por o grupo fundamental ser um invariante por tipo de homotopia, segue que  S^1 não tem o mesmo tipo de homotopia que um ponto, ou seja, não é contrátil (esse argumento será comentado em detalhes em um futuro post). De outra forma, usando homologia é possível provar que S^1 não é retrato de B^2 .

No entanto, a prova desse fato será adiada para outro post (com os dois argumentos).

Para demonstrar o teorema do ponto fixo de Brouwer de dimensão 2, será usado um argumento que vale para todas as dimensões pares.  Para argumentar dessa forma, será preciso recorrer a um resultado sobre esferas de dimensão ímpar. A demonstração para o caso geral de dimensão n não fará uso desse resultado, mas optei por colocar um argumento diferente no caso de dimensão 2 para apresentar os dois tipos de argumento.

Então o próximo teorema será o teorema do ponto fixo de Brouwer para dimensão 2. Primeiramente, prova-se a seguinte afirmação:

Afirmação 2: Se n é ímpar, então a aplicação antípoda \alpha : S^n\to S^n é homotópica à aplicação identidade id : S^n\to S^n .

Demonstração: Se n= 2k-1 , então S^n é homeomorfo a

\left\{ (u_1, \ldots , u_k ) : u_1, \ldots , u_k\in\mathbb{C}\mbox{ e } \left| u_1\right| ^2+ \cdots + \left| u_k\right| ^2=1\right\} (munido da topologia produto). Define-se a ação do grupo topológico S^1 em S^n tal que z\cdot (u_1, \ldots , u_k ) = (zu_1, \ldots , zu_n)\in S^n .

E, assim, fica fácil de ver que H: S^n\times I\to S^n , onde H(z,t) = e^{t\pi i}\cdot z é uma homotopia entre a aplicação antípoda e a aplicação identidade.

CQD

É interessante observar que a propriedade acima vale apenas para n ímpar. No sentido de que, se n é par, então a aplicação antípoda não é homotópica à aplicação identidade. Ou seja, n é ímpar se, e somente se, a aplicação identidade id : S^n\to S^n é homotópica à aplicação antípoda. No entanto, não será utilizado na demonstração esse fato: só será utilizada a afirmação 2 .

Teorema 2 (Brouwer no plano): Se f: B^2\to B^2 é uma aplicação contínua, então f possui ponto fixo.

Demonstração: Com efeito, supõe-se que existe f: B^2\to B^2 contínua que não admita pontos fixos. Disso, segue que pode-se definir G: B^2\to S^{1} tal que \displaystyle G(x) = \frac{ f(x)-x}{\left| f(x)-x\right| } . E é fácil ver que g é contínua e não possui pontos fixos. E, da mesma forma, g=G|_{S^1} é contínua e não possui pontos fixos.

Logo segue que g é homotópico à aplicação antípoda (por não possui pontos fixos). E, pela afirmação 2, segue que g é homotópico à aplicação identidade. Como S^1 não é contrátil, a aplicação identidade não é homotópica a nenhuma aplicação constante. Logo g não é homotópico a nenhuma aplicação constante e, portanto, não possui extensão contínua em B^2 : absurdo, pois G seria essa extensão.

CQD

Como foi dito anteoriormente, as demonstrações do ponto fixo de Brouwer em dimensão n+1 exigem que seja demonstrado o fato de que S^{n} não é contrátil. Para provar isso no caso geral, há algumas formas. Por exemplo, usando homotopia ou usando homologia. Usando homologia prova-se que S^{n} não é retrato de B^{n+1} (e, como foi comentado, isso é equivalente a dizer que S^n não é contrátil). Usando grupos de homotopia, no caso em que n>1 , complica um pouco. Isso porque não podemos usar argumento igual ao de n=1 , pois, para n> 1 , o grupo fundamental de S^n é trivial. Portanto é possível usar grupo fundamental para o caso geral.

Tem-se que grupos de homotopia são, também, invariantes por tipo de homotopia (isso será comentado em um outro post), logo, mostrando que que algum grupo de homotopia S^n não é trivial, fica demonstrado que S^n não tem o mesmo tipo de homotopia que um ponto (não é contrátil). Mas, na verdade, tem-se que \pi _ n(S^n) não é trivial, portanto mostrar isso seria um jeito de usar homotopia para provar que S^n não é contrátil. A prova desses fatos serão adiados para um outro post.

Assumindo o fato de que S^n não é contrátil para todo n natural, vê-se que o argumento do teorema anterior prova o teorema do ponto fixo de Brouwer para o caso de dimensão par (dimensão da bola fechada).

Segue o enunciado e a demonstração do teorema do ponto fixo de Brouwer para o dimensão n qualquer. Será fácil de perceber que o argumento usado é geral e engloba inclusive os casos de dimensão 1 e 2 já demonstrados.

Teorema 3 (Teorema do Ponto Fixo de Brouwer):

Se f: B^{n+1}\to B^{n+1} é uma aplicação contínua, então f possui ponto fixo.

Demonstração: Com efeito, supõe-se por absurdo que existe uma aplicação contínua f: B^{n+1}\to B^{n+1} contínua que não admita pontos fixos. Define-se, então, G: B^{n+1}\to S^n , onde G(x) é o ponto de S^n tal que a semi-reta que liga f(x) a x tem interseção. Isso é ilustrado na figura. Fazendo as contas para G(x) (pode usar produto interno para ficar direto), fica fácil notar que G é contínuo.

Logo G seria uma retração. Como S^n não é retrato de B^{n+1} , segue o absurdo.

Portanto existe c\in B^{n+1} tal que f(c) = c .

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