Curvas de Peano

julho 3, 2010

Neste post todo, o intervalo \left[ 0,1\right] será denotado por I . Seja M um espaço métrico. Uma curva de Peano em M é uma aplicação contínua f:I\to M sobrejetiva.

Essas curvas de Peano tem relação (evidente) com o “cálculo” de grupos fundamentais. Em particular, a existência dessas curvas de Peano, por exemplo, está relacionada com a prova de que S^n é simplesmente conexo para n\geq 2 . Isso será explicado em outro post.

Aqui, vou construir de forma direta uma curva de Peano em I^n , n\in\mathbb{N} qualquer (por exemplo, I^2 é o quadrado fechado). Para isso, vou utilizar algumas considerações do post anterior.

Segue, abaixo, mais um lema sobre extensão contínua que será importante para a construção das curvas de Peano.

Lema 1: Seja C\subset I um subconjunto fechado. Se X\subset\mathbb{R}^n é um conjunto convexo, segue que qualquer aplicação contínua f:C\to X possui extensão contínua F:I\to X .

Demonstração: Com efeito, pela estrutura (topológica) da reta, tem-se um resultado conhecido de que todo aberto pode ser escrito como uma reunião enumerável de intervalos abertos disjuntos. Logo I-C é escrito como uma reunião enumerável \displaystyle\bigcup _{k\in L} A_k de intervalos abertos A_k = (a_k,b_k) . Logo define-se F(x) = f(x) , se x\in C . E, para x\in I-C , tem-se que x\in (a_k,b_k) para algum k\in L e, nesse caso, define-se \displaystyle F(x) = \left(\frac{x-b_k}{a_k-b_k}\right)f(a_k)+\left(\frac{a_k-x}{a_k-b_k}\right) f(b_k) . Verificar que F é, de fato, contínua é fácil. Além disso, pode-se notar que F está definida nesses intervalos abertos como sendo o segmento de reta que liga os valores de f nos extremos.

CQD

Antes de construir a curva de Peano, seguem algumas definições e um lema importante para a construção.  Seja \left\{ 0,1\right\} o espaço topológico (metrizável) munido da topologia discreta.

Segue que K=\left\{  0,1\right\} ^\mathbb{N} é um produto de espaços e, munido da topologia produto, é metrizável. Pelo teorema de Tychonoff, segue que K é compacto. E, pelas considerações do post anterior, tem-se que K é homeomorfo a K^n (para qualquer n\in\mathbb{N} ) .

Lema 2: Seja K=\left\{ 0,1\right\} ^\mathbb{N} o produto dos espaços topológicos discretos. Existe uma aplicação contínua sobrejetiva h : K\to I^n .

Demonstração: Define-se uma métrica em K=\left\{ 0,1\right\} ^\mathbb{N} . Dados x,y\in K , define-se \displaystyle d(x,y)=\sum _{i=1}^\infty  \frac{\left| x_i-y_i\right| }{2^i} . E, então, a aplicação \alpha : K\to I tal que \alpha (x) = d(x,0) , denotando-se 0 = (0,\ldots ,0) ,  é evidentemente contínua e sobrejetiva. Logo, dado n\in\mathbb{N} , \alpha\times\cdots\times\alpha = (\alpha )^n : K^n\to I^n é uma aplicação contínua sobrejetiva. Seja, então \beta : K\to K^n um homeomorfismo. Segue, então, que h= (\alpha )^n\circ\beta : K\to I^n é uma aplicação contínua sobrejetiva.

CQD

Teorema de Peano: Para qualquer n\in\mathbb{N} , existe uma aplicação contínua f: I\to I^n sobrejetiva.

Demonstração: Mune-se K=\left\{ 0,1\right\} ^\mathbb{N} da seguinte métrica coerente com a topologia produto d(x,y) = \displaystyle\sum _{i=1}^\infty \frac{\left| x_i - y_i\right|}{10^i} .

Define-se, então, a aplicação contínua \phi : K\to I tal que \phi (x) = d(x,0) . É fácil verficar que \phi é injetiva. Define-se M=f(K) . Tem-se, então, que M é compacto (e, em particular, fechado em I ). Além disso, tem-se que \varphi : K\to M , onde \varphi (x) = \phi (x) , é uma bijeção contínua definida num compacto que toma valores num espaço Hausdorff. Portanto  \varphi é um homeomorfismo e, então, K e M são homeomorfos.

Dado n\in\mathbb{N} , toma-se a aplicação contínua sobrejetiva h: K\to I^n , cuja existência é garantida pelo lema 2. Portanto h\circ (\varphi )^{-1}: M\to I^n é uma aplicação contínua sobrejetiva. Pelo lema 1, segue que existe uma extensão contínua f: I\to I^n (sobrejetiva) de h\circ (\varphi )^{-1} .

CQD

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Teorema de Tychonoff e o tal Alexander — parte 2: caso geral

janeiro 29, 2010

Esse post demorou a sair porque minha “quase demonstração” para o teorema de Alexander não funcionou! 😦
Aí eu peguei da Wikipedia. 🙂

Continuando o post anterior, vamos (tentar) obter o caso geral do teorema de Tychonoff. O primeiro passo é definir o que seria a topologia produto para uma coleção (X_\lambda, \tau_\lambda), \lambda \in \Lambda de espaços topológicos. Vamos usar X para representar o conjunto dado pelo produto cartesiano de X_\lambda. E vamos convencionar que \pi_\lambda: X \rightarrow X_\lambda é a projeção natural.

Em um primeiro momento, pode-se argumentar que o mais “natural” seria definir a topologia produto como sendo aquela gerada pela família \prod_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda, A_\lambda \in \tau_\lambda. Certamente que foi isso o que eu pensei da primeira vez que me deparei com o problema. Essa é uma topologia possível, mas no entanto parece não ser tão fácil de descrever suas propriedades em termos das componentes X_\lambda.

Por exemplo, dada uma sequência (ou rede) x_n = (x_{\lambda n})_{\lambda \in \Lambda} \in X, como podemos dizer — baseado nas coordenadas x_{\lambda n} — quando é que x_n é convergente? Analogamente, quando é que uma função f: Y \rightarrow X é contínua nesta topologia?

A facilidade de se fazer essa conexão entre o comportamento do produto e o comportamento de cada coordenada individualmente é a essência da topologia produto.

Definição: A topologia produto é a topologia mais fraca tal que todas as projeções \pi_\lambda são contínuas.

Observações:
1. A topologia produto é portanto gerada pelos conjuntos da forma \pi_\lambda^{-1}(A_\lambda), com A_\lambda \in \tau_\lambda.

2. A topologia produto pode ser caracterizada através de redes: Se x_\gamma = (x_{\lambda \gamma}), então x_\gamma \rightarrow (x_\lambda) se, e somente se, para todo \lambda \in \Lambda, x_{\lambda \gamma} \rightarrow x_\lambda.

3. A topologia produto é, no caso infinito, estritamente mais fraca que a topologia gerada pela família \prod_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda, A_\lambda \in \tau_\lambda.

4. A topologia produto apresentada acima coincide, no caso finito, com a topologia produto definida no post anterior.

A observação 2 não foi demonstrada porque para isso precisaríamos definir com precisão o conceito de redes e elaborar caracterizações de fenômenos topológicos em termos deste novo conceito.

Vamos apresentar um exemplo que pode ajudar a convencer o leitor de que o conceito de topologia produto não é tão artificial quanto parece.

Exemplo 1: (topologia da convergência ponto-a-ponto)
Dado um conjunto X e um espaço topológico Y, seja \mathcal{F} = \{ f: X \rightarrow Y \} a família de todas as aplicações de X para Y. O conjunto \mathcal{F} pode ser identificado com Y^X = \prod_{x \in X} Y, onde f \in \mathcal{F} é representado em Y^X através das coordenadas \pi_x(f) = f(x).

Na topologia produto, dizer que f_\gamma \rightarrow f, é o mesmo que dizer, pela observação 2, que para cada x \in X, f_\gamma(x) \rightarrow f(x). Ou seja, é o mesmo que dizer que f_\gamma converge ponto-a-ponto para f.

Pelo teorema de Tychonoff (que ainda vamos demonstrar), temos que se Y for compacto, então \mathcal{F}, com a topologia produto (convergência de redes ponto-a-ponto) será também compacto.

Usando uma construção análoga para o espaço bi-dual E^{**} de um espaço de Banach E, é demonstrada a compacidade da bola fechada na topologia fraca-*.

Exemplo 2: (continuidade)
Seja Z um espaço topológico. Então uma função f: Z \rightarrow X será contínua se, e somente se, \pi_\lambda \circ f for contínua para todo \lambda \in \Lambda.

A demonstração disso é assim: se lembra que no post anterior foi comentado que dada uma sub-base para a topologia de X, para que f seja contínua, basta que a imagem inversa de cada elemento da sub-base seja aberto? Pois bem… neste caso, a sub-base é dada pelos conjuntos da forma \pi_\lambda^{-1}(A), A \in \tau_\lambda.

Ou seja, f é contínua se, e somente se, para todo \lambda \in \Lambda e A \in \tau_\lambda, (\pi_\lambda \circ f)^{-1}(A) = f^{-1}(\pi_\lambda^{-1}(A)) for aberto. Ou seja, exatamente quando \pi_\lambda \circ f for contínua para todo \lambda \in \Lambda.

O leitor fica convidado (intimado!) a procurar e analisar outras demonstrações desse fato para perceber como a consciência do palpel exercido pela sub-base torna a demonstração mais simples.


Vamos então anunciar o teorema de Alexander e mostrar como ele leva à demonstração do teorema de Tychonoff.

Teorema: (Alexander) Seja (X, \tau) um espaço topológico e \mathcal{C} uma sub-base para \tau. Então, para que X seja compacto é suficiente (e necessário) que toda cobertura de X por elementos de \mathcal{C} possua uma sub-cobertura finita.

Demonstração: (ao final do post).

Teorema: (Tychonoff) Seja (X_\lambda, \tau_\lambda), \lambda \in \Lambda uma coleção de espaços topológicos compactos. Então, X = \prod_{\lambda \in \Lambda} X_\lambda é compacto na topologia produto.

Demonstração:
Pelo teorema de Alexander, basta mostrar que toda cobertura de X da forma B_\gamma = \pi_{\lambda(\gamma)}^{-1}(A_\gamma), \gamma \in \Gamma possui uma sub-cobertura finita. Vamos particionar \Gamma da seguinte maneira: defina \Gamma_\lambda = \{ \gamma \in \Gamma: \lambda(\gamma) = \lambda \}. Para cada \lambda, faça A_\lambda = \bigcup_{\gamma \in \Gamma_\lambda} A_\gamma.

Suponha — para obter uma contradição — que para todo \lambda, a família A_\gamma, \gamma \in \Gamma_\lambda não cobre X_\lambda, ou seja, A_\lambda \neq X_\lambda. Neste caso, para cada \lambda \in \Lambda, existe x_\lambda \in X_\lambda \setminus A_\lambda. Portanto, fazendo x = (x_\lambda), para todo \gamma \in \Gamma, x \not \in \pi_{\lambda(\gamma)}^{-1}(A_\gamma).

Ou seja, \Gamma não daria uma cobertura para X. Portanto, existe \lambda tal que X_\lambda = \bigcup_{\gamma \in \Gamma_\lambda} A_\gamma. Pela compacidade de X_\lambda, sabemos que existe um subconjunto finito \Gamma' \subset \Gamma_\lambda \subset \Gamma tal que X_\lambda = \bigcup_{\gamma \in \Gamma'} A_\gamma. E portanto, X = \pi_\lambda(X_\lambda) = \bigcup_{\gamma \in \Gamma'} \pi_\lambda^{-1}(A_\gamma). Ou seja, \pi_\lambda^{-1}(A_\gamma), \gamma \in \Gamma' é uma sub-cobertura finita.


No teorema acima usamos o axioma da escolha para escolher x_\lambda \not \in A_\lambda. Para a demonstração do teorema de Alexander utilizaremos o lema de Zorn.

Demonstração do Teorema de Alexander:
Suponha que (X, \tau) não seja compacto. Então, pelo lema 1 do post anterior, a coleção \mathcal{F} de todas as coberturas abertas de X por elementos de \beta(\mathcal{C}) sem sub-cobertura finita não é vazia. Lembre-se que \beta(\mathcal{C}) são os conjuntos da forma A_1 \cap \dotsb \cap A_n, com A_j \in \mathcal{C}.

Afirmação 1: A coleção \mathcal{F} possui um elemento maximal \Gamma_m.

Pelo lema de Zorn, basta mostrar que para todo subconjunto não-vazio \mathcal{F}' \subset \mathcal{F} totalmente ordenado, \Gamma = \bigcup_{\Gamma' \in \mathcal{F}'} \Gamma' é um elemento de \mathcal{F}. De fato, \Gamma, por conter uma cobertura de X é também uma cobertura de X. Resta então mostrar que \Gamma não possui sub-cobertura finita. Se A_1, \dotsc, A_n fosse uma subcobertura finita de \Gamma, então existiria \Gamma' \in \mathcal{F}' tal que A_j \in \Gamma' para todo j = 1, \dotsc, n. Ou seja, A_1, \dotsc, A_n seria uma sub-cobertura finita de \Gamma', contrariando a definição de \mathcal{F}'.

O fato de \Gamma_m ser maximal, implica que se A \not \in \Gamma_m for aberto, então \{A\} \cup \Gamma_m possui uma sub-cobertura finita.

Afirmação 2: A família \mathcal{C}_m = \mathcal{C} \cap \Gamma_m não cobre X.

Caso contrário, por hipótese, possuiria uma sub-cobertura finita. Esta, por sua vez, também seria sub-cobertura finita de \Gamma_m.

Pela afirmação 2, existe x \in X que não é coberto por \mathcal{C}_m. Como \Gamma_m cobre X, existe A_x = A_1 \cap \dotsc \cap A_n \in \Gamma_m, com A_j \in \mathcal{C}, tal que x \in A_x.

Afirmação 3: Nenhum dos A_j pertence a \Gamma_m.

Caso contrário, teríamos x \in A_j \in \mathcal{C} \cap \Gamma_m, contrariando a escolha de x.

Pela afirmação 3, para cada j = 1, \dotsc, n, as coberturas \{A_j\} \cup \Gamma_m são estritamente maiores que \Gamma_m e portanto possuem sub-cobertura finita \{A_j\} \cup \Gamma_j, com \Gamma_j \subset \Gamma_m. Assim, X = A_j \cup \bigcup_{A \in \Gamma_j} A.

Fazendo \tilde{\Gamma} = \bigcup_{j=1}^n \Gamma_j, é fácil verificar que X = A_x \cup \bigcup_{A \in \tilde{\Gamma}} A. Ou seja, \{A_x\} \cup \tilde{\Gamma} é uma sub-cobertura finita de \Gamma_m.


Observações:
1. A notação tá muito ruim! 😦

2. A demonstração da afirmação 1 é muito parecida com a demonstração de que todo espaço vetorial possui uma base. Uma base é um conjunto maximal dentre os conjuntos linearmente independentes. Na demonstração da afirmação 1 utilizamos o fato de que a união crescente de famílias que não possuem sub-cobertura finita também não possui sub-cobertura finita. Do mesmo modo, a união crescente de conjuntos linearmente independentes é um conjunto linearmente independente. É interessante observar o papel da palavra finito. Note que um conjunto linearmente independente é aquele que não possui sub-conjuntos finitos linearmente dependentes. Assim como as coberturas de \mathcal{F} são aquelas que não possuem sub-coberturas finitas!!

3. Foi preciso usar que \mathcal{C} é uma sub-base apenas para que A_x fosse uma interseção finita de conjuntos de \mathcal{C}. Assim, \tilde{\Gamma} pôde ser escrito como uma união finita de conjuntos finitos.