“Sempre existe uma trivialização mensurável de um fibrado principal”

Eu já havia lido essa afirmação do título algumas vezes mas nunca tinha visto um enunciado claro disso, uma prova ou mesmo uma referência para uma prova. Ontem finalmente vi num livro um esboço de argumento (atribuído ao Ruelle) que prova isso. O argumento é bem trivial, mas como eu não sabia dele estou escrevendo para compartilhá-lo com vocês.

Considere um -fibrado principal localmente trivial

onde é um grupo topológico e um espaço topológico.  Em e considere a -álgebra dos borelianos.

Proposição: Se a base é Lindelöf (toda cobertura de abertos admite subcobertura enumerável) então existe uma seção que é Borel-mensurável.

Demonstração: Seja uma cobertura trivializante de , com seções contínuas .  Como é Lindelöf podemos supor, extraindo uma subcobertura, que essa cobertura trivializante é enumerável, .  Considere e

.

Então os são borelianos disjuntos que cobrem .  Defina por

,

que é claramente uma seção bem definida de .  Afirmamos que é Borel-mensurável.  De fato, seja um boreliano de , então

.

Usando que segue que

é um boreliano, uma vez que são contínuas.  Uma vez que é reunião enumerável de borelianos, segue o afirmado.

Essa seção Borel-mensurável nos dá a trivialização

que é uma bijeção Borel-mensurável que comuta com a ação de .  Para verificar que ela é Borel-mensurável basta observar que, considerando a partição de da demonstração acima, em a trivialização é dada por

que é um homemorfismo.

Observação: Se é um espaço métrico, então ele é  Lindelöf se, e somente se, é second-countable, se, e somente se, é separável.