“Sempre existe uma trivialização mensurável de um fibrado principal”

abril 24, 2009

Eu já havia lido essa afirmação do título algumas vezes mas nunca tinha visto um enunciado claro disso, uma prova ou mesmo uma referência para uma prova. Ontem finalmente vi num livro um esboço de argumento (atribuído ao Ruelle) que prova isso. O argumento é bem trivial, mas como eu não sabia dele estou escrevendo para compartilhá-lo com vocês.

Considere um G-fibrado principal localmente trivial

\pi: Q \to B

onde G é um grupo topológico e B um espaço topológico.  Em B e Q considere a \sigma-álgebra dos borelianos.

Proposição: Se a base B é Lindelöf (toda cobertura de abertos admite subcobertura enumerável) então existe uma seção \chi: B \to Q que é Borel-mensurável.

Demonstração: Seja U_i \subset B uma cobertura trivializante de Q, com seções contínuas \chi_i: U_i \to Q.  Como B é Lindelöf podemos supor, extraindo uma subcobertura, que essa cobertura trivializante é enumerável, i = 1,2,\ldots.  Considere A_1 =U_1 e

A_i = U_i \backslash \bigcup_{j < i} U_j \qquad (i>1).

Então os A_i, \, i=1,2,\ldots são borelianos disjuntos que cobrem B.  Defina \chi: B \to Q por

\chi(b) = \chi_i(b),\qquad b \in A_i,

que é claramente uma seção bem definida de Q.  Afirmamos que \chi é Borel-mensurável.  De fato, seja C um boreliano de Q, então

\chi^{-1}(C) = \bigcup_{i \geq 1}  \chi^{-1}(C) \cap A_i.

Usando que \pi(\chi(b)) = b segue que

\chi^{-1}(C) \cap A_i = \chi^{-1}(C \cap \pi^{-1}(A_i) ) = \chi_i^{-1}(C \cap \pi^{-1}(A_i) )

é um boreliano, uma vez que \chi_i, \pi são contínuas.  Uma vez que \chi^{-1}(C) é reunião enumerável de borelianos, segue o afirmado. \square

Essa seção Borel-mensurável nos dá a trivialização

B \times G \to Q,\qquad (b,g) \mapsto \chi(b)g

que é uma bijeção Borel-mensurável que comuta com a ação de G.  Para verificar que ela é Borel-mensurável basta observar que, considerando a partição A_i de B da demonstração acima, em \pi^{-1}(A_i) a trivialização é dada por

A_i \times G \to \pi^{-1}(A_i),\qquad (b,g) \mapsto \chi_i(b)g

que é um homemorfismo.

Observação: Se B é um espaço métrico, então ele é  Lindelöf se, e somente se, é second-countable, se, e somente se, é separável.

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