Teoria de Lie e Aplicações

Resultado do meu concurso na UnB

dezembro 18, 2014

Ontem saiu o resultado de um concurso para professor que fiz aqui na UnB. Finalmente, fui aprovado. 🙂

Mas meu objetivo neste post, não é simplesmente comemorar. Gostaria de seguir meus princípios e valores e colocar aqui um link para o PDF com a avaliação da banca. Espero estar contribuindo para que um dia esses processos sejam mais transparentes.

A transparência é interesse de toda a sociedade. O controle social é importante não (apenas) para garantir os direitos individuais dos candidatos de um concurso, mas para garantir que os resultados não são manipulados. É interesse de toda a sociedade que a seleção esteja em acordo com princípios constitucionais de imparcialidade e impessoalidade. Talvez, devido ao alto grau de especialização necessário para que se componha uma banca para escolha de um professor universitário, hoje o processo é realizado pelo próprio departamento interessado. Existe um evidente conflito de interesses, já que muitos candidatos possuem relações com os professores que tomarão as decisões finais. Relações que podem prejudicá-los ou beneficiá-los. Reconhecer esta deficiência é o primeiro passo para saná-la.

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Escrito por André Caldas

Teorema de Cayley-Hamilton

julho 26, 2013

Um enunciado e demonstração bacana de que o polinômio característico de uma transformação linear $A$ anula essa transformação, em outras palavras:

Teorema. $(A - \lambda_1)(A - \lambda_2) \ldots (A-\lambda_n) = 0$

onde $A$ é uma transformação linear de um espaço vetorial complexo de dimensão $n$ com autovalores $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n$ (com possíveis repetições).

Demonstração. Escolha uma base $e_1, e_2, e_3, \ldots$ na qual a matriz de $A$ é triangular superior de modo que

$A =\begin{pmatrix} \lambda_1 & * & * & \cdots \\ & \lambda_2 & * & \cdots \\ & & \lambda_3 & \cdots \\ & & & \ddots \end{pmatrix}$

e então

$\begin{array}{r} (A-\lambda_1)(A-\lambda_2) (A-\lambda_3) \ldots = \\ \begin{pmatrix} 0 & * & * & \cdots \\ & * & * & \cdots \\ & & * & \cdots \\ & & & \ddots \end{pmatrix} \begin{pmatrix} * & * & * & \cdots \\ & 0 & * & \cdots \\ & & * & \cdots \\ & & & \ddots \end{pmatrix} \begin{pmatrix} * & * & * & \cdots \\ & * & * & \cdots \\ & & 0 & \cdots \\ & & & \ddots \end{pmatrix} \ldots \end{array}$
onde a ordem dos fatores no produto pode ser trocada.

Calculando em $e_1$ temos que

$\begin{array}{rcl} \ldots (A-\lambda_1) e_1 & = & \\ \begin{pmatrix} 0 & * & * & \cdots \\ & * & * & \cdots \\ & & * & \cdots \\ & & & \ddots \end{pmatrix} e_1 & = & 0 \end{array}$

Calculando em $e_2$ temos que

$\begin{array}{rcl} \ldots (A-\lambda_1)(A-\lambda_2) e_2 & = & \\ \ldots (A-\lambda_1) \begin{pmatrix} * & * & * & \cdots \\ & 0 & * & \cdots \\ & & * & \cdots \\ & & & \ddots \end{pmatrix} e_2 & = & \\ \ldots (A-\lambda_1) * e_1 & = & 0 \end{array}$

Calculando em $e_3$ temos que

$\begin{array}{rcl} \ldots (A-\lambda_1)(A-\lambda_2)(A-\lambda_3) e_3 & = & \\ \ldots (A-\lambda_1) (A-\lambda_2) \begin{pmatrix} * & * & * & \cdots \\ & * & * & \cdots \\ & & 0 & \cdots \\ & & & \ddots \end{pmatrix} e_3 & = & \\ \ldots (A-\lambda_1)(A-\lambda_2) * e_1 + * e_2 & = & 0 \end{array}$

E assim em diante, calculado na base $e_1, e_2, e_3, \ldots, e_n$ esse produto dá zero, logo o produto é a matriz zero. $\square$

Algumas considerações:

A demonstração formal seria por indução e com alguns detalhes a mais, mas acredito que a demonstração acima ilustra bem as ideias e, o mais bacana, deixa claro porque as coisas funcionam!
Os dois tipos de demonstração que eu conhecia disso eram: via matriz de cofatores (é feia, se presta a generalizações para matriz sobre anéis, mas é algébrica demais), via densidade de matrizes complexas diagonalizáveis (é bacana, mas usa topologia e continuidade e pressupõe mais maturidade). Essa aqui usa apenas coisas básicas de álgebra linear mas é geral suficiente para matrizes sobre corpos (tomando o fecho algébrico do corpo). É claro que teria que depois argumentar porque o teorema também vale para matrizes reais.
Nunca ensinei Álgebra Linear, mas em termos da sequência de assuntos, imagino assim: dentro do tópico de subespaços invariantes e formas normais de transformações 1) definição de autovetor e autovalor, 2) definição de polinômio característico. Daqui em diante num espaço vetorial complexo: 3) existência de $n$ autovalores complexos (raízes do polinômio característico), 4) existência de pelo menos um autovetor para cada autovalor distinto, 5) a existência de uma uma base na qual a matriz de uma transformação é triangular superior: consequência da existência de autovetor, pode ser feita mais concretamente com matrizes ou mais abstratamente com espaços e transformações quocientes, na forma triangular superior os autovalores aparecem na diagonal.
A forma triangular superior de uma transformação pode ser a primeira forma normal (também conhecida como forma de Schür), que depois poderia ser refinada para a forma de Jordan. Note que a forma de Schür pode motivar a definição de autoespaços generalizados.

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Escrito por Lucas Seco

Extensões Centrais em Física.

março 20, 2013

Tropecei neste artigo esses dias, tentando entender grupos de laços. Nele, os autores discutem como extensões centrais de grupos e álgebras de Lie (em particular, recobrimentos universais), aparecem na Física. Vale dar uma olhada!

http://math.univ-lille1.fr/~gmt/PaperFolder/CentralExtensions.pdf

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Escrito por Conrado

Variedades Flag de Posto Um São Esferas.

março 4, 2013

Da série “Entendendo a Tese do Lonardo”.

Teorema. Seja $G$ um grupos de Lie semissimples cuja álgebra de Lie $\mathfrak g$ tem posto real um, e tomemos $P\subseteq G$ um subgrupo parabólico (único a menos de conjugação). Então, a variedade flag $G/P$ é difeomorfa a $\mathbb S^n$ , em que $n =\dim (\mathfrak g_\alpha\oplus\mathfrak g_{2\alpha})$ e $\alpha$ é raiz simples.

Demonstração. Em geral, $\mathfrak g=\mathfrak n^-\oplus\mathfrak m\oplus\mathfrak a\oplus\mathfrak n^+$ e $\mathfrak p=\mathfrak m\oplus\mathfrak a\oplus\mathfrak n^+$ , de modo que $\dim(G/P)=\dim \mathfrak n^-=\dim\mathfrak n^+$ . Como o posto real de $\mathfrak g$ é um, temos $\mathfrak n^+=\mathfrak g_\alpha\oplus\mathfrak g_{2\alpha}$ . Resta provar que $G/P$ é uma esfera.

Para tanto, lembramos que $G/P$ é difeomorfo a $K/M$ , em que $G=KAN$ e $P=MAN$ são as decomposições de Iwasawa, e que $K/M$ é equivalente, como $K$ -espaço homogêneo, à órbita de um elemento regular $H\in\mathfrak s$ por $\mathrm{Ad}(K)$ . A hipótese do posto real de $\mathfrak g$ ser um implica duas coisas: (i) para $H\in\mathfrak s$ ser regular basta $H\neq 0$ , e (ii) existe uma correspondência 1-1 entre elementos regulares de $\mathfrak s$ e subespaços abelianos maximais pela relação $\mathfrak a = \mathbb R H$ .

Escolhamos, então, um vetor $H\in\mathfrak s$ tal que $||H||^2 = B(H,H)=1$ ( $B$ é forma de Cartan-Killing de $\mathfrak g$ , que é um produto interno quando restrita a $\mathfrak s$ ) e ponhamos $\mathfrak a:=\mathbb R H$ . Como $\mathrm{Ad}(K)$ preserva $B$ , então $\mathrm{Ad}(K)H\subseteq \mathbb S_1(\mathfrak s)$ . Reciprocamente, se $H'\in\mathbb S_1(\mathfrak s)$ e $\mathfrak a': =\mathbb R H'$ , então existe $k\in K$ tal que $\mathrm{Ad}(k)\mathfrak a = \mathfrak a'$ , isto é, $\mathrm{Ad}(k)H=\pm H'$ . Como todo elemento do grupo de Weyl admite representante em $K$ via $\mathrm{Ad}$ , concluimos que $\mathrm{Ad}(k')H=H'$ para algum $k'\in K$ , ou seja, que $H'\in\mathrm{Ad}(K)H$ . Isto prova que $G/P=K/M=\mathrm{Ad}(K)H = \mathbb S_1(\mathfrak s)$ . $\square$

Aqui usamos a restrição para o $K$ . Tem como construir diretamente uma ação transitiva de $G$ numa esfera com isotropia $P$ ?

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Escrito por Conrado

EDOs lineares de coeficientes constantes via Álgebra Linear

dezembro 26, 2012

Sempre ouvi falar que a solução de EDOs lineares homogêneas de coeficientes constantes bem como o Método dos Coeficientes a Determinar pode ser feita como aplicação de ferramentas de Álgebra Linear.

Como não achei isso feito explicitamente, escrevi essas notas disponíveis clicando aqui. Achei bem interessante ver que todos os casos acabam sendo reduzidos aos casos

$y^{(n)} = 0$ ou $y^{(n)} =$ polinômio,

que tem solução geral polinomial 😀 Gostei especialmente da demonstração dos Coeficientes a Determinar no caso em que o termo não-homogêneo é um polinômio.

Alguém sabe onde isso é feito explicitamente? Eu achei algumas coisas dispersas na Internet aqui e aqui mas elas escondem a Álgebra Linear.

Do jeito que está acho que algumas coisas daqui podem ser usadas como exercícios para um curso de Álgebra Linear. Acho que algumas coisas também podem ser adaptadas para um curso de EDO para uma turma mais interessada, como é feito nos links da Internet que pus no parágrafo anterior.

Correções, comentários e contribuições são sempre bem-vindos!

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Escrito por Lucas Seco

União de subespaços vetoriais.

agosto 31, 2012

O objetivo desse post é demonstrar o seguinte resultado de Álgebra Linear, que usamos o tempo todo mas que frequentemente não paramos para provar.

Teorema: Sejam $V$ um espaço vetorial de dimensão finita sobre um corpo infinito $\mathbb K$ e tome $V_1,\dots, V_n\subseteq V$ subespaços vetoriais. Então, $V_1\cup\cdots\cup V_n$ é um subespaço de $V$ se, e só se, um dos $V_i$ ‘s contém todos os outros.

Antes de prová-lo, vejamos a consequência do Teorema que nos interessa.

Corolário: Sejam $V$ um espaço vetorial de dimensão finita sobre um corpo infinito $\mathbb K$ e tome $f_1,\dots,f_n\in V^*$ não nulos. Então, existe $v\in V$ tal que $f_i(v)\neq 0$ para todo $i=1,\dots,n$ .

(Uma versão desse resultado é um exercício do Hoffman-Kunze.)

Para provar esse Corolário, consideramos os subespaços $V_i:=\ker f_i$ . É preciso mostrar que $V_1\cup\cdots\cup V_n\subsetneq V$ , e fazemos isso supondo o contrário. Então, $V_1\cup\cdots\cup V_n = V$ é um subespaço vetorial de $V$ , e pelo Teorema isso significa que, para algum $V_i$ , $V_i\supseteq V_j$ para todo $j=1,\dots,n$ . Portanto, $V=V_1\cup\cdots\cup V_n=V_i=\ker f_i$ , ou seja, $f_i=0$ . Como supomos cada $f_j\neq0$ , obtemos um absurdo.

(Para quem não sabe, a gente usa esse Corolário para produzir elementos regulares e completamente regulares em álgebras de Lie semissimples. No primeiro caso, os funcionais considerados são as raízes, e no segundo as diferenças entre elas.)

Demonstração do Teorema: $(\Leftarrow)$ Imediato. $(\Rightarrow)$ Se $V_i\subseteq V_1\cup\cdots\cup\widehat{V_i}\cup\cdots\cup V_n$ para algum $i$ , então podemos excluir o subespaço $V_i$ da lista pois ele não contribui para a união $V_1\cup\cdots\cup V_n$ . Logo, podemos supor, sem perda de generalidade, que $V_1\nsubseteq V_2\cup\cdots\cup V_n$ . Vamos provar que $V_i\subseteq V_1$ para todo $i$ . Seja $v_0\in V_1\backslash(V_2\cup\cdots\cup V_n)$ , e tomemos $v\in V_2\cup\cdots\cup V_n$ qualquer. Como $V_1\cup\cdots\cup V_n$ é subespaço e $u_0,v\in V_1\cup\cdots\cup V_n$ , então $ku_0+v\in V_1\cup\cdots\cup V_n$ para todo $k\in\mathbb K.$ Logo, para cada $k$ , ou $kv_0+v\in V_1$ ou $kv_0+v\in V_2\cup\cdots\cup V_n.$

$\vdash$ $k_0v_0+v\in V_1$ para algum $k_0\in\mathbb K.$

Como $v_0\notin V_2\cup\cdots\cup V_n$ , então para cada $2\leq i\leq n$ podemos escolher $f_i\in V_i^0$ tal que $f_i(v_0)\neq 0$ , em que $W^0:=\{f\in V^*:\forall w\in W,\, f(w)=0\}$ para cada $W\subseteq V$ . (Isso porque $\dim_\mathbb K V<\infty.)$ Consideremos o polinômio $p(k)=\prod_{i=2}^n f_i(kv_0+v) = \prod_{i=2}^n \big(f_i(v_0)k+f_i(v)\big)$ , e notemos que seu termo dominante é $\left[\prod_{i=2}^n f_i(v_0)\right]k^{n-1}\neq 0$ . Com isso, $p$ é não nulo de grau $n-1$ , e portanto possui uma quantidade finita de raízes. Como $\mathbb K$ é infinito, segue que existe $k_0\in\mathbb K$ tal que $p(k_0)\neq 0$ , i.e., tal que $f_i(k_0v_0+v)\neq0$ para todo $2\leq i\leq n$ , i.e., tal que $k_0v_0+v\notin V_2\cup\cdots\cup V_n$ . Portanto, $k_0v_0+v\in V_1.$ $\dashv$

Por fim, como $v_0\in V_1$ e $k_0v_0+v\in V_1$ , temos $v\in V_1.$ QED

(No caso em que $\mathbb K$ é algebricamente fechado, dá para fazer uma demonstração bem curtinha desse Teorema usando a noção de redutibilidade de uma variedade algébrica. Mas isso envolve o Nullstellensatz e, honestamente, é usar canhão para matar mosca.)

Considerações finais.

Obtive essa prova tentando emular a demonstração, mais simples, do caso $n=2$ (que também vale para corpos finitos). Nessa situação, $V_2\cup\cdots\cup V_n=V_2$ é um subespaço e o argumento envolvendo polinômios é desnecessário: se $v_0\in V_1\backslash V_2$ e $v\in V_2$ , então $v_0+v\in V_2$ implica $v_0=(v_0+v)-v\in V_2$ e obtemos imediatamente que $v_0+v\in V_1.$ Por outro lado, quando tentamos generalizar isso para $n\geq3$ , esbarramos no problema que, em geral, $V_2\cup\cdots\cup V_n$ não é subespaço, e $v_0=(v_0+v)-v$ pode não estar em $V_2\cup\cdots\cup V_n$ (e frequentemente este é o caso).
Como contraexemplo, temos o espaço vetorial $V=\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2$ sobre (o corpo finito) $\mathbb Z_2$ . Tomando $V_1=\{0;(1,0)\}$ , $V_2=\{0;(1,1)\}$ e $V_3=\{0;(0,1)\}$ , é imediato que $V_1,V_2,V_3$ são subespaços e que $V=V_1\cup V_2\cup V_3.$
Para provar o Corolário diretamente, procede-se de maneira análoga à demonstração do Teorema, mas a passagem com anuladores não é necessária, o que faz com que o Corolário valha mesmo que $\dim V=\infty.$

Quem tiver correções ou comentários, é só postar um comentário abaixo. 😛

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Escrito por Conrado

Seminário de Teoria de Lie

agosto 21, 2012

Bem, como eu escrevi no post sobre mim (Conrado), eu organizo o seminário de Teoria de Lie aqui no IMECC e mantenho um blog contendo as últimas novidades, incluindo datas, resumos e apresentações. O endereço é o seguinte: seminariolie.wordpress.com.

Os seminários ocorrem às sextas à tarde e quem estiver interessado em apresentar algo entre em contato comigo.

Também gostaria de pedir a quem administra este blog aqui para colocar um link em alguma barra lateral para facilitar a vida de quem anda perdido pela internet. (Já coloquei um no blog do seminário direcionando para cá.)

Falou!

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Escrito por Conrado

Conexidade da Compactificação de Um Ponto/Alexandroff

agosto 20, 2012

Todos vemos no curso de topologia que pode-se acrescentar um ponto a qualquer espaço topológico não compacto $X$ para torná-lo compacto (a tal compactificação de um ponto, ou de Alexandroff, que denotaremos por $X^*$ ). Admitindo que $X$ é de Hausdorff e localmente compacto, tem-se que $X^*$ também possui essas propriedades. Além disso, uma vez que $X$ acaba sendo um subespaço denso de $X^*$ , tem-se adicionalmente que $X^*$ é conexo sempre que $X$ o for. (A recíproca dessa última afirmação não é verdadeira: se $X$ é a união de dois discos fechados que se tangenciam num ponto, menos esse ponto de tangência, então $X$ é desconexo apesar de $X^*$ ser conexo.)

A questão que eu gostaria de levantar é a seguinte: quais condições sobre $X$ garantem que $X^*$ é conexo por caminhos? Sem enrolar muito, o critério que encontrei é o seguinte:

Proposição: Se $X$ é um espaço topológico de Hausdorff não compacto, localmente compacto, conexo por caminhos e $\sigma$ -compacto, então $X^*$ é conexo por caminhos.

Dem.: Seja $\{K_n:n\in\mathbb N\}$ uma família de subespaços compactos de $X$ tal que $K_n\subseteq K_{n+1}$ e $X = \bigcup_{n\in\mathbb N} K_n$ . Dado $x\in X$ , precisa-se mostrar que existe uma curva contínua $\tilde\gamma:[0,1]\to X^*$ tal que $\tilde\gamma(0) = x$ e $\tilde\gamma(1) = \infty$ , em que $X^* = X\cup\{\infty\}$ . Pode-se supor, sem perda de generalidade, que $x\in K_0$ . Deste modo, seja $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ uma sequência de pontos de $X$ tal que $x_0 = x$ e $x_n\in K_n\backslash K_{n-1}$ para $n>0$ . Pela definição da topologia de $X^*$ tem-se $x_n\to\infty$ . Como $X$ é conexo por caminhos, para cada $n$ existe uma curva $\gamma_n:[n,n+1]\to X\subseteq X^*$ satisfazendo $\gamma_n(n) = x_n$ e $\gamma_n(n+1) = x_{n+1}$ . Usando que $[0,+\infty)$ é homeomorfo a $[0,1)$ por uma função crescente (e.g. $f(t) = \frac{t}{1-t}$ , $0\leq t<1$ ), produz-se uma curva $\gamma:[0,1)\to X$ e uma sequência de pontos $(t_n)_{n\in\mathbb N}\subseteq [0,1)$ satisfazendo $t_n<t_{n+1}$ , $t_n\to1$ e $\gamma(t_n) = x_n$ . A curva $\tilde\gamma$ definida por $\tilde\gamma(t) = \gamma(t)$ para $t\in[0,1)$ e $\tilde\gamma(1) = \infty$ satisfaz as condições desejadas. QED

Então, $X$ ser $\sigma$ -compacto é suficiente, e desconfio que também é necessário, mas não consegui encontrar um exemplo que mostrasse isso. Se alguém achar, posta um comentário aí.

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Escrito por Conrado

Motivando o determinante de matrizes 3×3

agosto 17, 2012

Olá pessoal,

Pensando numa explicação razoável de determinantes para estudantes de ensino médio, procurei em alguns livros de ensino médio e na internet uma motivação para a definição do determinante de matriezes 3×3 e… Não achei!

Vocês conhecem alguma motivação?

Eu escrevi uma nesse rascunho aqui: Determinante 3×3

Quem se interessar, sugira (e critique) à vontade nos Comentários para melhorarmos o rascunho! 🙂

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Escrito por Lucas Seco

Conrado Damato de Lacerda

março 16, 2012

Formação: bacharel em Matemática e Computação Científica pela UFSC (2008) e mestre em Matemática pela UNICAMP (2011). Atualmente sou aluno de doutorado em Matemática na UNICAMP sob a orientação do prof. Luiz A. B. San Martin.

Áreas de interesse: teoria de Lie, geometria diferencial, análise funcional, topologia, física-matemática, entre outras.

Atividades: além da pesquisa de doutorado, atualmente organizo o Seminário de Teoria de Lie do IMECC. Quem tiver interesse em participar é só me contatar.

E-mail para contato: conrado.lacerda@yahoo.com.br

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Escrito por Conrado