Variedades Flag de Posto Um São Esferas.

Da série “Entendendo a Tese do Lonardo”.

Teorema. Seja um grupos de Lie semissimples cuja álgebra de Lie tem posto real um, e tomemos um subgrupo parabólico (único a menos de conjugação). Então, a variedade flag é difeomorfa a , em que e é raiz simples.

Demonstração. Em geral, e , de modo que . Como o posto real de é um, temos . Resta provar que é uma esfera.

Para tanto, lembramos que é difeomorfo a , em que e são as decomposições de Iwasawa, e que é equivalente, como -espaço homogêneo, à órbita de um elemento regular por . A hipótese do posto real de ser um implica duas coisas: (i) para ser regular basta , e (ii) existe uma correspondência 1-1 entre elementos regulares de e subespaços abelianos maximais pela relação .

Escolhamos, então, um vetor tal que ( é forma de Cartan-Killing de , que é um produto interno quando restrita a ) e ponhamos . Como preserva , então . Reciprocamente, se e , então existe tal que , isto é, . Como todo elemento do grupo de Weyl admite representante em via , concluimos que para algum , ou seja, que . Isto prova que .

Aqui usamos a restrição para o . Tem como construir diretamente uma ação transitiva de numa esfera com isotropia ?

Homotopia de flags I

Não sei se existe na literatura uma descrição dos grupos de homotopia das variedades flag.
Alguns casos eu consigo ver, usando resultados conhecidos e poucos recursos, como a sequência exata de fibração.
Por exemplo, um flag maximal associado a um grupo complexo é o quociente de um grupo compacto por um toro . Dos grupos de homotopia do toro só tem o grupo fundamental , os outros são triviais (isso porque uma aplicação de recobrimento induz isomorfismo nos grupos de homotopia de 2 em diante e é contrátil). Então, na sequência exata

o primeiro termo desaparece a partir de n = 2, o que implica que a partir de n = 3 os grupos de homotopia dos flags são isomorfos aos grupos de homotopia do grupo. (Os casos n = 1 e n = 2 podem ser tratados separadamente.) Por outro lado, para os grupos compactos clássicos (SU(k), SO(k) e Sp(k)) os seus grupos de homotopia \pi_n são conhecidos, desde que n seja bem menor que k (tem gente que gosta de chamar isso de homotopia estável, porque eles são na verdade os grupos de homotopia dos grupos infinitos). Isso é o resultado do teorema de periodicidade de Bott (que pode ser encontrado, por exemplo, no livro Husemoller, Fibre Bundles).
Ainda com os flag maximais, dá para tratar também dos grupos que são formas reais normais, isto é, em que o posto real coincide com o posto (os clássicos são Sl(n,R), SO(p,p+1), Sp(n,R) e SO(p,p)).
Nesses casos o flag maximal é o quociente K/M de um grupo compacto K por um grupo finito M. Portanto a projeção é um recobrimento, que induz isomorfismo nos grupos de homotopia a partir de n = 2 (vou comentar depois sobre o grupo fundamental dos flags em geral).
Para os outros flags maximais o grupo M pode não ser toro e certamente não é discreto.
Outro caso que admite um tratamento semelhante é o dos flags de subespaços de de dimensões 1,2,…,k com k<n, isto é, , real ou complexo. O que acontece aqui é a variedade de Stiefel (seus elementos são os conjuntos de k vetores l.i) fibra sobre , sendo que a fibra é um toro no caso complexo e é discreta no caso real. Além do mais, a homotopia estável de (isto é, com m pequeno em relação a n-k) é zero (isso também pode ser encontrado no livro do Husemoller. Aliás é essa propriedade de que faz com que os fibrados de Stiefel sejam universais.)  Portanto, tem homotopia (estável) trivial. Talvez seja possível obter informações sobre os grupos de homotopia de outros flags, via a sequência exata de fibração. Em todo caso tem que ser alguma coisa tipo homotopia estável. O cálculo do grupos de homotopia, com toda generalidade, é muito dificil, mesmo para a esfera.

Topologia de flags II: grupo fundamental

Conheço dois artigos sobre os grupos fundamentais das variedades flags. Um adota uma abordagem algébrica (K.D. Johnson: The structure of parabolic subgroups. J. Lie Theory, 14  (2004), 287-316.) e o outro uma abordagem topológica (M. Wiggerman: The fundamental group of a real flag manifold. Indag. Mathem. N.S. (1), (1998), 141-153.) Aliás, ambos os artigos são relativamente recentes.

A abordagem algébrica consiste no seguinte: o flag maximal é G/MAN e a componente conexa da identidade do subgrupo parabólico minimal é (M_0)AN, onde M_0 é a componente da identidade de M. Se G é simplesmente conexo então G/(M_0)AN também é simplesmente conexo, o que implica que a fibração G/(M_0)AN —> G/MAN é o recobrimento universal do flag G/MAN. Sua fibra M/M_0 é o grupo fundamental do flag. Em outras palavras o grupo das componentes conexas de M, quando G é simplesmente conexo, é o grupo fundamental do flag maximal. Então, o que é feito no artigo do  K.D. Johnson é descrever o grupo M e, portanto, M/M_0 em cada um dos casos. Ele faz tudo caso a caso e a dificuldade maior fica no caso das álgebras excepcionais. Isso porque a realização dos grupos é mais complicada. Por exemplo, no caso da álgebra sl(n,R) o grupo M/M_0 é isomorfo ao grupo que ele chama de D_n, que não é abeliano, mas é dois passos nilpotente: o quociente pelo centro é abeliano. O caso n=3 é fácil explicitar. O recobrimento universal de SO(3) é SU(2), que por sua vez é a esfera unitária (S^3) do espaço dos quatérnions. Nesse caso é fácil encontrar M (que é discreto). Ele é o grupo {±1,±i,±j,±k}. Em geral M/M_0 não é abeliano (ao contrário do que acontece em grupos complexificaveis, isto é, grupos reais que são mergulhados em grupos complexos).

Em principio essa abordagem algébrica só dá o grupo fundamental do flag maximal. É posível (mas, não imediato) extender isso aos demais flags, olhando quais as componentes conexas de M que interceptam os demais subgrupos parabólicos. Isso não foi feito no paper do Johnson. Eu comecei a fazer e fechei alguns casos.

A abordagem topológica do artigo do Wiggerman usa um teorema geral sobre o grupo fundamental de um complexo CW: o grupo fundamental é gerado pelas células de dimensão um módulo as fronteiras das células de dimensão dois. Nos flags (qualquer um)  as decomposições celulares naturais são dadas pela decomposição de Bruhat em que as células são nomeadas pelos elementos do grupo de Weyl. Nesse caso o melhor é tomar a decomposição de Bruhat dada pelas órbitas do grupo N^+: existe uma única célula de dimensão zero, que é a origem. As células de dimensão um são as dadas pelas reflexões em relação às raízes simples que têm multiplicidade um. As células de dimensão dois são de duas naturezas: as dadas por produtos de reflexões em relação às raízes simples de multiplicidade um e as dadas por raízes simples de multiplicidade dois. E assim por diante. Com isso, no artigo do Wiggerman ele fez contas concretas e determinou os geradores e as relações dos grupos fundamentais.

O que fica claro dessa abordagem topológica é que os grupo fundamentais dependem apenas das raízes simples de multiplicidade um. Em particular, os flags de grupos complexos são simplesmente conexos, pois as raízes têm multiplicidade dois (a dimensão complexa dos espaços de raízes é um…). Menciono uma outra coisa. No livro do Knapp, quando ele trata das componentes conexas de M, aparece um subgrupo que é denotado pelo subíndice ‘split’, que é gerado pelas raízes de multiplicidade um. A subálgebra-subgrupo gerada pelas raízes simples de multiplicidade um é uma subálgebra dessa ‘split’. Verifiquei os diagramas e vi que em alguns casos ela é própria, isto é, a subálgebra gerada pelas raízes simples de multiplicidade um não contém, necessariamente, todos os espaços de raízes de multplicidade um.

Por fim, tenho usado esses resultados para calcular coisas do seguinte tipo: tome uma raiz de multiplicidade um e olhe a subálgebra-subgrupo (isomorfa a sl(2,R)) gerada pelo espaço de raízes dela e de sua negativa. A órbita desse subgrupo a partir da origem é um ponto ou um circulo S^1. Minha pergunta é o que esse S^1 representa no grupo fundamental. Isso é relvante para olhar o tipo parabólico de certos semigrupos e para a controlabilidade de sistemas de controle. Espero voltar a essas aplicações da topologia posteriormente.

Topologia de flags I: grupos de homotopia

Não sei se existe na literatura uma descrição dos grupos de homotopia das variedades flag.
Alguns casos eu consigo ver, usando resultados conhecidos e poucos recursos, como a sequência exata de fibração.
Por exemplo, um flag maximal associado a um grupo complexo é o quociente U/T de um grupo compacto U por um toro T. Dos grupos de homotopia do toro só tem o grupo fundamental \pi_1, os outros são triviais (isso porque uma aplicação de recobrimento induz isomorfismo nos grupos de homotopia de 2 em diante e R^n é contrátil). Então, na sequência exata

\pi_n (toro T) —> \pi_n (grupo U) —> \pi_n (flag)

o primeiro termo desaparece a partir de n = 2, o que implica que a partir de n = 3 os grupos de homotopia dos flags são isomorfos aos grupos de homotopia do grupo. (Os casos n = 1 e n = 2 podem ser tratados separadamente.) Por outro lado, para os grupos compactos clássicos (SU(k), SO(k) e Sp(k)) os seus grupos de homotopia \pi_n são conhecidos, desde que n seja bem menor que k (tem gente que gosta de chamar isso de homotopia estável, porque eles são na verdade os grupos de homotopia dos grupos infinitos). Isso é o resultado do teorema de periodicidade de Bott (que pode ser encontrado, por exemplo, no livro Husemoller, Fibre Bundles).
Ainda com os flag maximais, dá para tratar também dos grupos que são formas reais normais, isto é, em que o posto real coincide com o posto (os clássicos são Sl(n,R), SO(p,p+1), Sp(n,R) e SO(p,p)).
Nesses casos o flag maximal é o quociente K/M de um grupo compacto K por um grupo finito M. Portanto a projeção K —> K/M é um recobrimento, que induz isomorfismo nos grupos de homotopia a partir de n = 2 (vou comentar depois sobre o grupo fundamental \pi_1 dos flags em geral).
Para os outros flags maximais o grupo M pode não ser toro e certamente não é discreto.
Outro caso que admite um tratamento semelhante é o dos flags de subespaços de R^n ou C^n de dimensões 1,2,…,k com k<n, isto é, F(1,2,…,k), real ou complexo. O que acontece aqui é a variedade de Stiefel St_k (seus elementos são os conjuntos de k vetores l.i) fibra sobre F(1,…,k), sendo que a fibra é um toro no caso complexo e é discreta no caso real. Além do mais, a homotopia estável de St_k (isto é, \pi_m com m pequeno em relação a n-k) é zero (isso também pode ser encontrado no livro do Husemoller. Aliás é essa propriedade de St_k que faz com que os fibrados de Stiefel sejam universais.)  Portanto, F(1,2,…,k) tem homotopia (estável) trivial. Talvez seja possível obter informações sobre os grupos de homotopia de outros flags, via a sequência exata de fibração. Em todo caso tem que ser alguma coisa tipo homotopia estável. O cálculo do grupos de homotopia, com toda generalidade, é muito dificil, mesmo para a esfera.